Calculus of Homotopy Functors

Goodwillie の関手の微積分の手法は, 最初位相空間やスペクトラムの圏を定義域とする homotopy functor に対して開発された。これを homotopy calculus ということにしよう。 その後, orthogonal calculus や manifold calculus など, より幾何学的な応用を念頭においた calculus が登場したが, homotopy calculus はホモトピー論における重要な道具の一つとなっている。

文献としては, Goodwillie の原論文 [Goo90; Goo92; Goo03], Rezk の [Rez] Kuhn の解説 [Kuh07] などを, まず読んでみるとよい。

まずは, homotopy functor に対する Taylor tower の構成, そしてその \(n\) 次の部分に対応する \(n\)次の homogeneous layer を理解すべきである。

• Taylor tower
• homogeneous layer

位相空間の圏から自分自身への functor の場合, identity functor の Taylor tower がホモトピー論的に興味深い構造を持つことを発見したのは, Arone と Mahowald [AM99] だった。 彼等は, partition poset を用いた layer のモデルを構成した。それは, Arone と Dwyer [AD01] によってより詳しく調べられている。

より詳しい構造は, operad の作用によって記述できる。 Michael Ching の[Chi05] は, 一般に cooperad 上の cobar construction の operad の構造 (そして operad 上の bar construction の cooperad の構造) を調べ, それの応用として Arone-Mahowald の partition poset を考えている。

より一般の位相空間の圏から自分自身への functor に対しては, Eldred [Eld16] が Taylor tower は元の functor を adjoint functor の組で挟んだ形に表せることを示している。

Taylor tower は fibration の tower なので, homotopy functor \(F\) の Taylor tower にホモトピー群を apply すれば, \(F(X)\) のホモトピー群に収束するスペクトル系列ができる。 特に identity functor の場合 \(\pi _*(X)\) に収束するスペクトル系列を得る。 これを Goodwillie spectral sequence と呼ぶことにしょう。

• Goodwillie spectral sequence

\(X=S^n\) の場合, 同じ球面のホモトピー群に収束するスペクトル系列ということ から, EHP spectral sequence と比較しようというのは, 自然なアイデアである。 実際, Behrens [Beh12] が, EHPスペクトル系列と identity functor の Goodwillie spectral sequence との関係を調べている。

Goodwillie tower と chromatic filtration に深い関係があるだろうことは, Arone と Mahowald の結果から予想されたことだった。具体的な関係については, Kuhn による \(v_n\)-localization との関係の発見 [Kuh04] が一つの解釈である。

References

[AD01]

G. Z. Arone and W. G. Dwyer. “Partition complexes, Tits buildings and symmetric products”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 82.1 (2001), pp. 229–256. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0024611500012715.

[AM99]

Greg Arone and Mark Mahowald. “The Goodwillie tower of the identity functor and the unstable periodic homotopy of spheres”. In: Invent. Math. 135.3 (1999), pp. 743–788. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220050300.

[Beh12]

Mark Behrens. “The Goodwillie tower and the EHP sequence”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 218.1026 (2012), pp. xii+90. arXiv: 1009.1125.

[Chi05]

Michael Ching. “Bar constructions for topological operads and the Goodwillie derivatives of the identity”. In: Geom. Topol. 9 (2005), 833–933 (electronic). arXiv: math/0501429. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2005.9.833.

[Eld16]

Rosona Eldred. “Goodwillie calculus via adjunction and LS cocategory”. In: Homology Homotopy Appl. 18.2 (2016), pp. 31–58. arXiv: 1209.2384. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2016.v18.n2.a2.

[Goo03]

Thomas G. Goodwillie. “Calculus. III. Taylor series”. In: Geom. Topol. 7 (2003), 645–711 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2003.7.645.

[Goo90]

Thomas G. Goodwillie. “Calculus. I. The first derivative of pseudoisotopy theory”. In: \(K\)-Theory 4.1 (1990), pp. 1–27. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00534191.

[Goo92]

Thomas G. Goodwillie. “Calculus. II. Analytic functors”. In: \(K\)-Theory 5.4 (1991/92), pp. 295–332. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00535644.

[Kuh04]

Nicholas J. Kuhn. “Tate cohomology and periodic localization of polynomial functors”. In: Invent. Math. 157.2 (2004), pp. 345–370. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-003-0354-z.

[Kuh07]

Nicholas J. Kuhn. “Goodwillie towers and chromatic homotopy: an overview”. In: Proceedings of the Nishida Fest (Kinosaki 2003). Vol. 10. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2007, pp. 245–279. arXiv: math/0410342. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2007.10.245.

[Rez]

Charles Rezk. A streamlined proof of Goodwillie’s n-excisive approximation. arXiv: 0812.1324.