Examples of Homology and Cohomology Theories

ホモロジーやコホモロジーの公理を知ったら, できるだけ多くの例に触れるのがよい。

• 古典的な Eilenberg-Steenrod の (co)homology
• 実および複素\(K\)理論
• 各種コボルディズム
• elliptic cohomology

コボルディズム群の中で特に重要なのが, 複素コボルディズムである。 関連した概念として以下のものがある。

• Thom 同型
• コホモロジー論の complex orientation
• complex oriented cohomology

Brown の表現定理により, コホモロジーは spectrum を用いて表現できる。 また, ホモロジーも, spectrum から定義することはできる。 そのような表示は, ホモトピー論の観点からはスッキリした感じがするが, 幾何学的応用に用いるのは難しい。 各種一般 (コ)ホモロジーが, 幾何学的な問題から出発したことを考えると, より幾何学的な構成があった方が望ましい。

\(K\)ホモロジーに対しては, Baum-Douglas による構成がある。より一般に, 全て一般ホモロジーを bordism 群から構成しようという試みもある。Stolz と Teichner [ST11] は, supersymmetric field theory を一般コホモロジーの “cocycle”として考えようとしている。 Kasparov の \(KK\)-theory のような bivariant version も考えられている。

• Baum-Douglas の \(K\) ホモロジー
• Jakob による一般ホモロジーの bordism 群としての表現 [Jak98]
• 一般ホモロジーの bivariant version [Jak02; EM10]

Jakob による構成は, 例えば, Chataur による string topology の研究 [Cha05] や Ruffino [Rufa] の differential homology の定義に用いられている。 Ruffino [Rufb] による variation もある。

References

[Cha05]

David Chataur. “A bordism approach to string topology”. In: Int. Math. Res. Not. 46 (2005), pp. 2829–2875. arXiv: math/0306080. url: http://dx.doi.org/10.1155/IMRN.2005.2829.

[EM10]

Heath Emerson and Ralf Meyer. “Bivariant \(K\)-theory via correspondences”. In: Adv. Math. 225.5 (2010), pp. 2883–2919. arXiv: 0812.4949. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2010.04.024.

[Jak02]

Martin Jakob. “Bivariant theories for smooth manifolds”. In: Appl. Categ. Structures 10.3 (2002). Papers in honour of the seventieth birthday of Professor Heinrich Kleisli (Fribourg, 2000), pp. 279–290. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1015225622516.

[Jak98]

Martin Jakob. “A bordism-type description of homology”. In: Manuscripta Math. 96.1 (1998), pp. 67–80. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002290050054.

[Rufa]

Fabio Ferrari Ruffino. Flat pairing and generalized Cheeger-Simons characters. arXiv: 1208.1288.

[Rufb]

Fabio Ferrari Ruffino. Geometric homology revisited. arXiv: 1301.5882.

[ST11]

Stephan Stolz and Peter Teichner. “Supersymmetric field theories and generalized cohomology”. In: Mathematical foundations of quantum field theory and perturbative string theory. Vol. 83. Proc. Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011, pp. 279–340. arXiv: 1108.0189. url: https://doi.org/10.1090/pspum/083/2742432.