色々な関数と関数に関連した話題

代数的トポロジーに限らず, とりあえず誰でも知っていなければならない関数は多項式だろう。

• 多項式
• 多項式環

多項式を繋ぎ合せた関数を spline という。

• spline

最も基本的なのは閉区間 \([a,b]\) 上定義された spline である。 区分的に多項式になっているということは, 定義域の分割が定まっていることになる。 通常は 凸多面体のような, 組み合せ論的構造を持つ領域を定義域として考えるようである。

トポロジーとの関係では, torus の作用を持つ多様体の equivariant cohomology を調べるとき, GKM theory として現れる。 また 超平面配置とも関係がある。Schenck の [Sch14] や DiPasquale の [DiP17] など。 これらのことについては, Tymoczko の幾何学とトポロジーのための spline の解説 [Tym16] を見るとよい。

\(\R \) や \(\bbC \) に値を持つ連続関数全体は環になる。 定義域がコンパクトならば単位元を持つ。 \(C^{*}\)-algebra の基本的な例である。

• algebra of continuous functions

連続関数に関係した問題として, Hilbert の問題13がある。

• Hilbert 13th problem

3変数の連続関数が2変数連続関数の superposition により表されるか, という問題であるが, Kolmogorov [Kol57] により \([0,1]^{n}\) 上の関数に対して解決されている。 その compact metric space への一般化が Ostrand [Ost65] により得られている。 これらの結果に関連して Sternfeld [Ste89] が basic family of functions という概念を導入している。

• basic family of continuous functions

他に興味深い関数の例として以下のものがある。

• zeta関数
• polylogarithm

References

[DiP17]

Michael DiPasquale. “Generalized splines and graphic arrangements”. In: J. Algebraic Combin. 45.1 (2017), pp. 171–189. arXiv: 1606.03091. url: https://doi.org/10.1007/s10801-016-0704-8.

[Kol57]

A. N. Kolmogorov. “On the representation of continuous functions of many variables by superposition of continuous functions of one variable and addition”. In: Dokl. Akad. Nauk SSSR 114 (1957), pp. 953–956.

[Ost65]

Phillip A. Ostrand. “Dimension of metric spaces and Hilbert’s problem \(13\)”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 71 (1965), pp. 619–622. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1965-11363-5.

[Sch14]

Hal Schenck. “Splines on the Alfeld split of a simplex and type A root systems”. In: J. Approx. Theory 182 (2014), pp. 1–6. arXiv: 1402.6924. url: https://doi.org/10.1016/j.jat.2014.02.005.

[Ste89]

Yaki Sternfeld. “Hilbert’s 13th problem and dimension”. In: Geometric aspects of functional analysis (1987–88). Vol. 1376. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin, 1989, pp. 1–49. url: https://doi.org/10.1007/BFb0090047.

[Tym16]

Julianna Tymoczko. “Splines in geometry and topology”. In: Comput. Aided Geom. Design 45 (2016), pp. 32–47. arXiv: 1511.07555. url: https://doi.org/10.1016/j.cagd.2015.11.006.