Polylogarithm

\(|z|<1\)の範囲で \[ \sum _{k=0}^{\infty } z^k = \frac{1}{1-z} \] である。よって\(-\log (1-z)\)の原点の周りでの巾級数展開は \[ -\log (1-z) = \sum _{k=0}^{\infty }\frac{z^{k+1}}{k+1} = \sum _{k=1}^{\infty }\frac{z^{k}}{k} \] となる。この右辺に着目し“高次のlogarithm”として \[ \mathrm{Li}_n(z) = \sum _{k=1}^{\infty }\frac{z^{k}}{k^n} \] を考えるというのは古くからあるアイデアである。

このpolylogarithmは, 代数的\(K\)理論や 数論など, 現代的な数学の中にも様々な形で現わ れ, 興味深い対象である。 Hain の [Hai94] や Zagierの[Zag86] などを見るとよい。

Polylogarithmのみたす関数方程式に対応する代数的\(K\)理論に関連したexact sequenceを見つけるというのは, 古くからある問題のようである。Algebraic cycleを用いて考えているのがParkの[Par]である。

References

[Hai94]

Richard M. Hain. “Classical polylogarithms”. In: Motives (Seattle, WA, 1991). Vol. 55. Proc. Sympos. Pure Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1994, pp. 3–42.

[Par]

Jinhyun Park. Algebraic cycles and additive dilogarithm. arXiv: math/0607220.

[Zag86]

Don Zagier. “Hyperbolic manifolds and special values of Dedekind zeta-functions”. In: Invent. Math. 83.2 (1986), pp. 285–301. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01388964.