Segal’s Γ-Spaces and Related Structures

Segal [Seg74] は, ある small category \(\Gamma \) から空間の圏への関手で, ある条件をみたすものとして \(\Gamma \)-space の概念を導入した。 まとまって書かれたものとして, Dundas, Goodwillie, McCarthy の本 [DGM13] の Chapter II がある。

• \(\Gamma \)
• \(\Gamma \)-space

モノイダル構造を考えたものとして Lydakis の [Lyd99] がある。

Segal は, \(\Gamma \) を有限集合を対象とし \(S\) から \(T\) への射を写像 \(\theta :S\to 2^{T}\) で像が互いに disjoint なものとして定義したが, 通常はその skeletal subcategory を考える。 \(n\in \Z _{\ge 0}\) に対し \(\bm {n}=\{1,\ldots ,n\}\) (\(\bm {0}=\emptyset \)) と いう形の集合を対象とするのが自然だろう。

射が分かりずらいが, 射 \(\theta :\bm {m}\to \bm {n}\) は, \(D(\theta )=\cup _{i=1}^{m}\theta (i)\) とし \(k\in \theta (i)\) のとき \(\underline {\theta }(k) = i\) として定義される写像 \(\underline {\theta }:D(\theta )\to \bm {m}\) を用いた span \[ \bm {n} \supset D(\theta ) \rarrow {\underline {\theta }} \bm {m} \] と同一視するのがよい。

更に, \([n]=\{0,\ldots ,n\}\) として写像 \(\tilde {\theta }: [n]\to [m]\) を \[ \tilde {\theta }(k) = \begin {cases} \underline {\theta }(k), & k\in D(\theta ) \\ 0, & k\not \in D(\theta ) \end {cases} \] で定義すると, \(\Gamma ^{\op }\) は基点付き集合と基点を保つ写像の成す圏と同値になる。これは, 例えば Bousfield と Friedlander の [BF78] に書かれている。

さて, Segal が \(\Gamma \)-space \(A\) に課した条件は, \(A(\bm {0})\) が可縮で, 自然な写像 \[ A(\bm {n}) \rarrow {} \underbrace {A(\bm {1})\times \cdots \times A(\bm {1})}_{n} \] がホモトピー同値になることであるが, この後者の条件は, よく Segal condition と呼ばれる。

単体的対象を定義するときの \(\Delta \) は, 自然に \(\Gamma \) の部分圏と同一視できるので, \(\Gamma \)-space は simplicial space にある条件を付けたものとみなすことができる。その観点から定義されたのが Segal space である。

• Segal space

Segal の発見は, \(\Gamma \)-space を simplicial space とみなして幾何学的実現を取ったものはまた \(\Gamma \)-space の構造を持つこと, そして, そこから spectrum が得られることだった。

Segal は更に \(\Gamma ^{\op }\) から small category の圏への関手で Segal condition をみたすものを \(\Gamma \)-category として定義している。

• \(\Gamma \)-category

集合の圏に値を持つもの, すなわち \(\Gamma \)-set は, Connes と Consani の [CC16; CC20; CC21] などで使われている。

• \(\Gamma \)-set

References

[BF78]

A. K. Bousfield and E. M. Friedlander. “Homotopy theory of \(\Gamma \)-spaces, spectra, and bisimplicial sets”. In: Geometric applications of homotopy theory (Proc. Conf., Evanston, Ill., 1977), II. Vol. 658. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1978, pp. 80–130.

[CC16]

Alain Connes and Caterina Consani. “Absolute algebra and Segal’s \(\Gamma \)-rings: au dessous de \(\overline {\mathrm {Spec}(\Z )}\)”. In: J. Number Theory 162 (2016), pp. 518–551. arXiv: 1502.05585. url: https://doi.org/10.1016/j.jnt.2015.12.002.

[CC20]

Alain Connes and Caterina Consani. “\(\overline {\mathrm {Spec}\,\Bbb Z}\) and the Gromov norm”. In: Theory Appl. Categ. 35 (2020), Paper No. 6, 155–178. arXiv: 1905. 03310.

[CC21]

Alain Connes and Caterina Consani. “On absolute algebraic geometry the affine case”. In: Adv. Math. 390 (2021), Paper No. 107909, 44. arXiv: 1909.09796. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2021.107909.

[DGM13]

Bjørn Ian Dundas, Thomas G. Goodwillie, and Randy McCarthy. The local structure of algebraic K-theory. Vol. 18. Algebra and Applications. Springer-Verlag London, Ltd., London, 2013, pp. xvi+435. isbn: 978-1-4471-4392-5; 978-1-4471-4393-2.

[Lyd99]

Manos Lydakis. “Smash products and \(\Gamma \)-spaces”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 126.2 (1999), pp. 311–328. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004198003260.

[Seg74]

Graeme Segal. “Categories and cohomology theories”. In: Topology 13 (1974), pp. 293–312. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(74)90022-6.