Segal’s Γ

Segal は, [Seg74] で 無限ループ空間あるいは connective spectrum を構成するために, ある small category \(\Gamma \) を導入した。 そして \(\Gamma \) から位相空間の圏への反変関手である条件をみたすものがあると, そこから 無限ループ空間が構成できることを示した。そのような関手を \(\Gamma \)-space という。

• \(\Gamma \)-space

Segal は, \(\Gamma \) を, 有限集合を対象とし, \(S\) から \(T\) への射を写像 \(\theta :S\to 2^{T}\) で像が互いに disjoint なものとして定義したが, 通常はその skeletal subcategory を考える。 \(n\in \Z _{\ge 0}\) に対し \(\langle n\rangle =\{1,\ldots ,n\}\) (\(\langle 0\rangle =\emptyset \)) という形の集合を対象とするのが自然だろう。

射が分かりずらいが, 射 \(\theta :\langle m\rangle \to \langle n\rangle \) は, \(\displaystyle D(\theta )=\bigcup _{i=1}^{m}\theta (i)\) とし \(k\in \theta (i)\) のとき \(\underline {\theta }(k) = i\) として定義される写像 \(\underline {\theta }:D(\theta )\to \langle m\rangle \) を用いた span \[ \langle n\rangle \supset D(\theta ) \rarrow {\underline {\theta }} \langle m\rangle \] と同一視するのがよい。

更に, \(n_{+}=\{*,1,\ldots ,n\}\) として写像 \(\tilde {\theta }: n_{+}\to m_{+}\) を \[ \tilde {\theta }(k) = \begin {cases} \underline {\theta }(k), & k\in D(\theta ) \\ *, & k\not \in D(\theta ) \end {cases} \] で定義すると, 有限基点付き集合の圏の射になるが, この対応 (関手) で \(\Gamma ^{\op }\) は有限基点付き集合と基点を保つ写像の成す圏と同値になる。これは, 例えば Bousfield と Friedlander の [BF78] に書かれている。

References

[BF78]

A. K. Bousfield and E. M. Friedlander. “Homotopy theory of \(\Gamma \)-spaces, spectra, and bisimplicial sets”. In: Geometric applications of homotopy theory (Proc. Conf., Evanston, Ill., 1977), II. Vol. 658. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1978, pp. 80–130.

[Seg74]

Graeme Segal. “Categories and cohomology theories”. In: Topology 13 (1974), pp. 293–312. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(74)90022-6.