Deligne Groupoid

Deligne groupoid とは, deformation theory で, differential graded Lie algebra から定義される groupoid のこと, より正確には, local Artinian algebra の category から groupoid の category への functor のことである。Goldman と Millson の [GM88] で登場したのが最初のようである。 そこには, Deligne groupoid という言葉は出てこないが, groupoid を考えるというアイデアは, Delinge によるものだと書いてある。また, 同等のものが, Schlessiger と Stasheff の1979年の preprint にも登場すると書いてある。その Schlessiger と Stasheff の論文は, [SS] として arXiv に登場した。

文献としては, どれを見るのがよいのだろうか。Goldman と Millson の [GM88] の 46ページや Hinich の [Hin97], Weinstein の [Wei97], そして Kontsevich と Soibelman の本 [KS] にある。 Getzler の [Get09] も見るとよい。

Hinich は, Kan complex に値を持つ functor を考え, それが groupoid に値を持つ Delinge groupoid と同値であることを示している。Getzler も同様のものを調べているが, graded でない場合, Lie algebra に associate したLie群の nerve と本質的に同じであるという点が面白い。つまり Lie algebra と Lie群の関係が differential graded な場合に拡張されるというわけである。 Getzler は, \(L_{\infty }\)-algebra の場合を主眼に置いているようであるが。その Getzler の結果の拡張として Henriques の [Hen08] がある。

• Lie algebra の一般化に対する積分問題

Getzler [Get02] によると, Deligne groupoid は, 本当は \(2\)-groupoid とみなすべきもののようである。

• Deligne \(2\)-groupoid [Get02]

Bressler らの [Bre+08] によると, Deligne \(2\)-groupoid は, \(C^{\infty }\)-manifold 上の gerbe の deformation にも関係している。

References

[Bre+08]

Paul Bressler, Alexander Gorokhovsky, Ryszard Nest, and Boris Tsygan. “Deformations of gerbes on smooth manifolds”. In: \(K\)-theory and noncommutative geometry. EMS Ser. Congr. Rep. Eur. Math. Soc., Zürich, 2008, pp. 349–392. arXiv: math/0701380. url: http://dx.doi.org/10.4171/060-1/11.

[Get02]

Ezra Getzler. “A Darboux theorem for Hamiltonian operators in the formal calculus of variations”. In: Duke Math. J. 111.3 (2002), pp. 535–560. arXiv: math.DG/0002164. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-02-11136-3.

[Get09]

Ezra Getzler. “Lie theory for nilpotent \(L_{\infty }\)-algebras”. In: Ann. of Math. (2) 170.1 (2009), pp. 271–301. arXiv: math/0404003. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2009.170.271.

[GM88]

William M. Goldman and John J. Millson. “The deformation theory of representations of fundamental groups of compact Kähler manifolds”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 67 (1988), pp. 43–96. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1988__67__43_0.

[Hen08]

André Henriques. “Integrating \(L_{\infty }\)-algebras”. In: Compos. Math. 144.4 (2008), pp. 1017–1045. arXiv: math/0603563. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X07003405.

[Hin97]

Vladimir Hinich. “Descent of Deligne groupoids”. In: Internat. Math. Res. Notices 5 (1997), pp. 223–239. arXiv: alg-geom/9606010. url: http://dx.doi.org/10.1155/S1073792897000160.

[KS]

Maxim Kontsevich and Yan Soibelman. Deformation Theory. I. url: http://www.math.ksu.edu/~soibel/Book-vol1.ps.

[SS]

Mike Schlessinger and Jim Stasheff. Deformation theory and rational homotopy type. arXiv: 1211.1647.

[Wei97]

Alan Weinstein. “Tangential deformation quantization and polarized symplectic groupoids”. In: Deformation theory and symplectic geometry (Ascona, 1996). Vol. 20. Math. Phys. Stud. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1997, pp. 301–314.