Automorphism Groups of Free Groups

Mapping class group と関係の深い群として, free group の automorphism group \(\mathrm{Aut}(F_n)\) と outer automorphism group \(\mathrm{Out}(F_n)\) がある。

• \(\mathrm{Aut}(F_n)\)
• \(\mathrm{Out}(F_n)\)

特に, \(\mathrm{Out}(F_n)\)は, mapping class group との “tantalizing analogy” がある, らしい。更に free Abelian group の automorphism group \(\GL _n(\Z )\) もこの系列の群とみなせる。例えば, mapping class group の complex of curves に対応するのが, \(\GL _n(\Z )\) の場合 spherical Tits building であり, \(\mathrm{Out}(F_n)\) では Culler と Vogtmann の outer space である。

• outer space なども含めた complex of curves に類似の複体

この三つの系列の群の類似性については, Bridson と Vogtmann の survey [BV06] を見るのがよい。\(38\) 個もの Question がある。Morita の解説 [Mor06] では, より幅広い系列の群にも触れられている。

\(\mathrm{Out}(F_n)\) については, Bestvina の ICM2002 での survey [Bes02] がある。\(\mathrm{Aut}(F_n)\)と\(\mathrm{Out}(F_n)\) がどれぐらい近いかについては, Hatcher と Vogtmann の [HV04] がある。その erratum が [HVW06] にある。Bestiva と Bux と Margalit の [BBM07] では, Forman の discrete Morse theory が使われている。

\(\mathrm{Out}(F_n)\) から \(\GL _n(\Z )\) へは自然な準同型がある。 そしてそれが全射であるというのが Nielsen の定理 [Nie24] である。その kernel を Bestvina と Bux と Margalit [BBM07] は \(\mathrm{Out}(F_n)\) の Torelli 群と呼んで調べている。

Galatius [Gal11] によると, \(\mathrm{Aut}(F_n)\) の stable homology は対称群の stable homology と同型になるらしい。よって \(\coprod _n B\mathrm{Aut}(F_n)\) のホモトピー論的 group completion が \(\coprod _n B\Sigma _n\) のホモトピー論的 group completion, つまり \(\Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }(S^0)\) とホモトピー同値になり, 興味深い。

References

[BBM07]

Mladen Bestvina, Kai-Uwe Bux, and Dan Margalit. “Dimension of the Torelli group for \(\mathrm{Out}(F_n)\)”. In: Invent. Math. 170.1 (2007), pp. 1–32. arXiv: math/0603177. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-007-0055-0.

[Bes02]

Mladen Bestvina. “The topology of \(\mathrm{Out}(F_n)\)”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Beijing, 2002). Beijing: Higher Ed. Press, 2002, pp. 373–384.

[BV06]

Martin R. Bridson and Karen Vogtmann. “Automorphism groups of free groups, surface groups and free abelian groups”. In: Problems on mapping class groups and related topics. Vol. 74. Proc. Sympos. Pure Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2006, pp. 301–316. arXiv: math/0507612.

[Gal11]

Søren Galatius. “Stable homology of automorphism groups of free groups”. In: Ann. of Math. (2) 173.2 (2011), pp. 705–768. arXiv: math/0610216. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2011.173.2.3.

[HV04]

Allen Hatcher and Karen Vogtmann. “Homology stability for outer automorphism groups of free groups”. In: Algebr. Geom. Topol. 4 (2004), pp. 1253–1272. arXiv: math/0406377. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2004.4.1253.

[HVW06]

Allan Hatcher, Karen Vogtmann, and Natalie Wahl. “Erratum to: “Homology stability for outer automorphism groups of free groups [Algebr. Geom. Topol. 4 (2004), 1253–1272 (electronic)] by Hatcher and Vogtmann”. In: Algebr. Geom. Topol. 6 (2006), 573–579 (electronic). arXiv: math/0603577. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2006.6.573.

[Mor06]

Shigeyuki Morita. “Cohomological structure of the mapping class group and beyond”. In: Problems on mapping class groups and related topics. Vol. 74. Proc. Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2006, pp. 329–354. arXiv: math/0507308. url: https://doi.org/10.1090/pspum/074/2264550.

[Nie24]

Jakob Nielsen. “Die Isomorphismengruppe der freien Gruppen”. In: Math. Ann. 91.3-4 (1924), pp. 169–209. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01556078.