3次元多様体のトポロジーと数論の類似性

Goundaroulis と Kontogeorgisの[GK] では, \(3\)次元多様体のトポロジーと, 数論の類似性を指摘した人として, Mazur, Kapranov, Reznikov らの名前が挙げられている。 具体的な参考文献として挙げられているのは, Morishita の [Mor02] と Sikora の [Sik03] であるが。解説として Morishita の [Mor10] そして本 [Mor12] がある。

Sikora の論文では, Mazur の論文として [Maz73] が, Reznikov の論文として [Rez97; Rez00] が挙げられている。 他には次のような文献があるようである: [Ram01; Wal76]

この Math Overflow の質問では, Mazur の 60年代の “Remarks on Alexander polynomial” という preprint が挙げられているが, この質問のおかげで scan されたものが download できるようになった。

Le Bruyn の \(\F _1\)-geometry に関する lecture note [Bru] にも書いてあるように, その Mazur の preprint では, 冒頭で Mumford の suggestion であったことが書いてある。Le Bruyn によると, 1964年の Woods-Hole conference のセミナーで, Artin と Verdier が \(\mathrm{Spec}(\Z )\) の étale cohomology が \(3\)次元多様体のような duality を持つことを示したことで, Mumford は \(\mathrm{Spec}(\Z )\) を\(3\)次元多様体と考え \(\mathrm{Spec}(\F _p)\) をその中の knot と考えることを思い付いたようである。

当然, 両分野での類似の定理の証明に, 共通のアイデアや道具を使えるとうれしい。 そのような試みとして, Morin の [Mor08] がある。

結び目の不変量の一つとして, quandle を用いたものがあるが, その arithmetic な類似が Takahashi [Tak] により考えられている。

単なる類似ではなく, 直接の関係を見付けようという試みとして Furusho の [Fur17] がある。そこでは, profinite tangle, profinite knot, profinite braid などの概念を定義し, 「profinite oriented knot の空間」 に 普通の knot の isotopy class の成す集合からの写像を構成している。

• profinite knot

別の試みとして, Nikolaev の [Nik] がある。 そこでは “3次元閉多様体の の category” から “代数的整数環の category” への functor が, cluster \(C^*\)-algebra という種類の \(C^*\)-algebra を用いて構成されている。 Cluster \(C^*\)-algebra とは, その \(K_{0}\) が cluster algebra になるよう な AF-algebra (approximately finite \(C^*\)-algebra) のことで, Nikolaev 自身により [Nik16] で導入されたものである。

Manin [Man10] によると, “一個の元を持つ体” \(\F _1\) も\(3\)次元多様体, より具体的には\(3\)次元ホモロジー球面の Witten-Reshetikhin-Turaev 不変量の研究 [Law97; LZ99; Hab04; Hab08] と関係あるらしいが, その面から\(3\)次元多様体と数論の関係が説明できると面白いと思う。

References

[Bru]

Lieven Le Bruyn. Absolute geometry and the Habiro topology. arXiv: 1304.6532.

[Fur17]

Hidekazu Furusho. “Galois action on knots I: Action of the absolute Galois group”. In: Quantum Topol. 8.2 (2017), pp. 295–360. arXiv: 1211.5469. url: https://doi.org/10.4171/QT/91.

[GK]

Dimoklis Goundaroulis and Aristides Kontogeorgis. On the principal ideal theorem in arithmetic topology. arXiv: 0705.3937.

[Hab04]

Kazuo Habiro. “Cyclotomic completions of polynomial rings”. In: Publ. Res. Inst. Math. Sci. 40.4 (2004), pp. 1127–1146. arXiv: math/0209324. url: http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.prims/1145475444.

[Hab08]

Kazuo Habiro. “A unified Witten-Reshetikhin-Turaev invariant for integral homology spheres”. In: Invent. Math. 171.1 (2008), pp. 1–81. arXiv: math/0605314. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-007-0071-0.

[Law97]

R. J. Lawrence. “Witten-Reshetikhin-Turaev invariants of \(3\)-manifolds as holomorphic functions”. In: Geometry and physics (Aarhus, 1995). Vol. 184. Lecture Notes in Pure and Appl. Math. New York: Dekker, 1997, pp. 363–377.

[LZ99]

Ruth Lawrence and Don Zagier. “Modular forms and quantum invariants of \(3\)-manifolds”. In: Asian J. Math. 3.1 (1999). Sir Michael Atiyah: a great mathematician of the twentieth century, pp. 93–107.

[Man10]

Yuri I. Manin. “Cyclotomy and analytic geometry over \(\F _1\)”. In: Quanta of maths. Vol. 11. Clay Math. Proc. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2010, pp. 385–408. arXiv: 0809.1564.

[Maz73]

Barry Mazur. “Notes on étale cohomology of number fields”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 6 (1973), 521–552 (1974).

[Mor02]

Masanori Morishita. “On certain analogies between knots and primes”. In: J. Reine Angew. Math. 550 (2002), pp. 141–167. url: http://dx.doi.org/10.1515/crll.2002.070.

[Mor08]

Baptiste Morin. “Utilisation d’une cohomologie étale équivariante en topologie arithmétique”. In: Compos. Math. 144.1 (2008), pp. 32–60. arXiv: math/0602064. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X07003168.

[Mor10]

Masanori Morishita. “Analogies between knots and primes, 3-manifolds and number rings [translation of MR2208305]”. In: Sugaku Expositions 23.1 (2010). Sugaku expositions, pp. 1–30. arXiv: 0904.3399.

[Mor12]

Masanori Morishita. Knots and primes. Universitext. An introduction to arithmetic topology. London: Springer, 2012, pp. xii+191. isbn: 978-1-4471-2157-2. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4471-2158-9.

[Nik]

Igor Nikolaev. Remark on arithmetic topology. arXiv: 1706.06398.

[Nik16]

Igor V. Nikolaev. “On cluster \(C^*\)-algebras”. In: J. Funct. Spaces (2016), Art. ID 9639875, 8. arXiv: 1508.00591. url: https://doi.org/10.1155/2016/9639875.

[Ram01]

Niranjan Ramachandran. “A note on arithmetic topology”. In: C. R. Math. Acad. Sci. Soc. R. Can. 23.4 (2001), pp. 130–135.

[Rez00]

Alexander Reznikov. “Embedded incompressible surfaces and homology of ramified coverings of three-manifolds”. In: Selecta Math. (N.S.) 6.1 (2000), pp. 1–39. url: http://dx.doi.org/10.1007/s000290050001.

[Rez97]

Alexander Reznikov. “Three-manifolds class field theory (homology of coverings for a nonvirtually \(b\sb 1\)-positive manifold)”. In: Selecta Math. (N.S.) 3.3 (1997), pp. 361–399. arXiv: dg-ga/9602006. url: http://dx.doi.org/10.1007/s000290050015.

[Sik03]

Adam S. Sikora. “Analogies between group actions on 3-manifolds and number fields”. In: Comment. Math. Helv. 78.4 (2003), pp. 832–844. arXiv: math/0107210. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00014-003-0781-x.

[Tak]

Nobuyoshi Takahashi. Quandles associated to Galois covers of arithmetic schemes. arXiv: 1508.03937.

[Wal76]

Jean-Loup Waldspurger. “Entrelacements sur \(\mathrm{Spec}(Z)\)”. In: Bull. Sci. Math. (2) 100.2 (1976), pp. 113–139.