Waldhausen Algebraic K-Theory

Waldhausen [Wal78b; Wal78a; Wal79; Wal85] は, 基点つき位相空間 \(X\) に対し, “algebraic \(K\)-theory” \(A(X)\) を定義した。 そのアイデアは, ループ空間 \(\Omega X\) の suspension spectrum \(\Sigma ^{\infty }(\Omega X)\) が“環”のような構造を 持つことによる。つまり \(\Omega X\) が up to homotopy で群であり \(\Sigma ^{\infty }(-)\) を取ることはその sphere spectrum を“係数”とする group ring を構成するようなもの, とみなすわけである。

• algebraic \(K\)-theory of space

このアイデアを実現するために, Waldhausen が導入したのが, category with cofibrations and weak equivalences である。 名前が長いので, 現在では Waldhausen category と呼ばれることが多いようである。 その cofibration に関する条件から, simplicial category を構成することができ, その homotopy theoretic group completion, つまり 分類空間の loop space として algebraic \(K\)-theory (の空間) が得られる。この構成は, \(S_{\bullet }\)-construction と呼ばれる。

• Waldhausen category
• \(S_{\bullet }\)-construction
• algebraic \(K\)-theory of Waldhausen category

\(S_{\bullet }\)-construction は, weak equivalence がない category with cofibrations に対する構成が本質的である。 例えば, Dundas, Goodwillie, McCarthy の本 [DGM13] では, 主に category with cofibrations の場合が扱われている。

• category with cofibrations

この構成により infinite loop space ができるのは, \(S_{\bullet }\)-construction により (simplicial) category with cofibration ができ, \(S_{\bullet }\)-construction を繰り返すことができるからであるが, 実はこれは symmetric spectrum を構成していることになっている。このことの証明は, 例えば, Geisser と Hesselholt の [GH99] の Appendix (section 6) にある。

• symmetric spectrum としての Waldhausen \(K\)-theory

Waldhausen の構成は, algebraic \(K\)-theory の性質を証明するのにも有用である。そのような例として, Thomason と Trobaugh [TT90] による導来同値不変性がある。 そのために, 彼等は complicial biWaldhausen category という概念を導入している。

• complicial biWaldhausen category
• complicial biWaldhausen category の homotopy category は triangulated category
• complicial biWaldhausen category の algebraic \(K\)-theory の導来同値不変性

一方で, Schlichting は, [Sch02] で homotopy category が triangulated category として同値であるが, Waldhausen \(K\)-theory が同型ではない例を構成している。Toën と Vezzosi [TV04] は, homotopy category ではなく Dwyer-Kan の simplicial localization で完全に決まることを示している。

一般化としては, Barwick [Bar16] による Waldhausen category の \((\infty ,1)\)-version とそれに対する algebraic \(K\)-theory の構成もある。 Waldhausen category では, cofibration と weak equivalence を指定する必要があるが, weak equivalence の部分は quasicategory の構造に含まれているので, cofibration に対応する subcategory を指定するだけでよい。 同様のものは, Fiore, Lück, Pieper [FP19] により Waldhausen quasicategory として導入されている。Fiore らは, Barwick のものと同値であると言っている。

• Waldhausen \(\infty \)-category
• Waldhausen quasicategory

一方, Barwick は [Bar15] で, exact \(\infty \)-category の概念を導入し, その algebraic \(K\)-theory も定義している。 Devalapurkar [Dev]は Barwick の定義を少し修正し, exact \(\infty \)-category に対し stable \(\infty \)-category を対応させることを提案している。

• exact \(\infty \)-category の algebraic \(K\)-theory

Barwick は, Theorem of the Heart, つまり \(t\)-structure を持つ stable \(\infty \)-category とその heart は同じ algebraic \(K\)-theory を持つことを示している。

• Theorem of the Heart

Dyckerhoff と Kapranov [DK] は, Waldhausen の \(S_{\bullet }\)-construction を行なってできるものが unital \(2\)-Segal space の構造を持つことを発見している。 同様のことは, Gálvez-Carrillo と Kock と Tonks [GKT; GKT18a; GKT18b; GKT18c] によっても独立に発見されている。

その一般化を Bergner ら [Ber+21a] が導入している。 augmented stable double Segal space から unital 2-Segal space を作る構成である。 そして [Ber+21b] で, その構成がこれまで知られている構成, つまり exact category や stable \((\infty ,1)\)-category, exact \((\infty ,1)\)-categoryに対する \(S_{\bullet }\)-construction, そして exact functor に対する relative \(S_{\bullet }\)-construction を全て包括するものであることを示している。

• augmented stable double Segal space に対する \(S_{\bullet }\)-construction

別の一般化としては, Dyckerhoff が [Dyc21] で導入した categorified Dold-Kan correspondence がある。

• categorified Dold-Kan correspondence

Waldhausen category から cobordism category のようなものを作ることを Raptis と Steimle [RS19] が提案している。 できたものは, \(S_{\bullet }\)-construction で得られるものと, 基本的に同じホモトピー型を持つようである。

References

[Bar15]

Clark Barwick. “On exact \(\infty \)-categories and the theorem of the heart”. In: Compos. Math. 151.11 (2015), pp. 2160–2186. arXiv: 1212. 5232. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X15007447.

[Bar16]

Clark Barwick. “On the algebraic \(K\)-theory of higher categories”. In: J. Topol. 9.1 (2016), pp. 245–347. arXiv: 1204.3607. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jtv042.

[Ber+21a]

Julia E. Bergner, Angélica M. Osorno, Viktoriya Ozornova, Martina Rovelli, and Claudia I. Scheimbauer. “2-Segal objects and the Waldhausen construction”. In: Algebr. Geom. Topol. 21.3 (2021), pp. 1267–1326. arXiv: 1809. 10924. url: https://doi.org/10.2140/agt.2021.21.1267.

[Ber+21b]

Julia E. Bergner, Angélica M. Osorno, Viktoriya Ozornova, Martina Rovelli, and Claudia I. Scheimbauer. “Comparison of Waldhausen constructions”. In: Ann. K-Theory 6.1 (2021), pp. 97–136. arXiv: 1901.03606. url: https://doi.org/10.2140/akt.2021.6.97.

[Dev]

Sanath Devalapurkar. A variant of algebraic \(K\)-theory. arXiv: 1503. 03362.

[DGM13]

Bjørn Ian Dundas, Thomas G. Goodwillie, and Randy McCarthy. The local structure of algebraic K-theory. Vol. 18. Algebra and Applications. Springer-Verlag London, Ltd., London, 2013, pp. xvi+435. isbn: 978-1-4471-4392-5; 978-1-4471-4393-2.

[DK]

Tobias Dyckerhoff and Mikhail Kapranov. Higher Segal spaces I. arXiv: 1212.3563.

[Dyc21]

Tobias Dyckerhoff. “A categorified Dold-Kan correspondence”. In: Selecta Math. (N.S.) 27.2 (2021), Paper No. 14, 35. arXiv: 1710. 08356. url: https://doi.org/10.1007/s00029-021-00618-5.

[FP19]

Thomas M. Fiore and Malte Pieper. “Waldhausen additivity: classical and quasicategorical”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 14.1 (2019), pp. 109–197. arXiv: 1207. 6613. url: https://doi.org/10.1007/s40062-018-0206-6.

[GH99]

Thomas Geisser and Lars Hesselholt. “Topological cyclic homology of schemes”. In: Algebraic \(K\)-theory (Seattle, WA, 1997). Vol. 67. Proc. Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, pp. 41–87. url: https://doi.org/10.1090/pspum/067/1743237.

[GKT]

Imma Gálvez-Carrillo, Joachim Kock, and Andrew Tonks. Decomposition Spaces, Incidence Algebras and Möbius Inversion. arXiv: 1404.3202.

[GKT18a]

Imma Gálvez-Carrillo, Joachim Kock, and Andrew Tonks. “Decomposition spaces, incidence algebras and Möbius inversion I: Basic theory”. In: Adv. Math. 331 (2018), pp. 952–1015. arXiv: 1512.07573. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.03.016.

[GKT18b]

Imma Gálvez-Carrillo, Joachim Kock, and Andrew Tonks. “Decomposition spaces, incidence algebras and Möbius inversion II: Completeness, length filtration, and finiteness”. In: Adv. Math. 333 (2018), pp. 1242–1292. arXiv: 1512 . 07577. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.03.017.

[GKT18c]

Imma Gálvez-Carrillo, Joachim Kock, and Andrew Tonks. “Decomposition spaces, incidence algebras and Möbius inversion III: The decomposition space of Möbius intervals”. In: Adv. Math. 334 (2018), pp. 544–584. arXiv: 1512 . 07580. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.03.018.

[RS19]

George Raptis and Wolfgang Steimle. “A cobordism model for Waldhausen \(K\)-theory”. In: J. Lond. Math. Soc. (2) 99.2 (2019), pp. 516–534. arXiv: 1711.08779. url: https://doi.org/10.1112/jlms.12182.

[Sch02]

Marco Schlichting. “A note on \(K\)-theory and triangulated categories”. In: Invent. Math. 150.1 (2002), pp. 111–116. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-002-0231-1.

[TT90]

R. W. Thomason and Thomas Trobaugh. “Higher algebraic \(K\)-theory of schemes and of derived categories”. In: The Grothendieck Festschrift, Vol. III. Vol. 88. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1990, pp. 247–435. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4576-2_10.

[TV04]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. “A remark on \(K\)-theory and \(S\)-categories”. In: Topology 43.4 (2004), pp. 765–791. arXiv: math/0210125. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(03)00080-6.

[Wal78a]

Friedhelm Waldhausen. “Algebraic \(K\)-theory of generalized free products. I, II”. In: Ann. of Math. (2) 108.1 (1978), pp. 135–204.

[Wal78b]

Friedhelm Waldhausen. “Algebraic \(K\)-theory of topological spaces. I”. In: Algebraic and geometric topology (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Part 1. Proc. Sympos. Pure Math., XXXII. Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 1978, pp. 35–60.

[Wal79]

Friedhelm Waldhausen. “Algebraic \(K\)-theory of topological spaces. II”. In: Algebraic topology, Aarhus 1978 (Proc. Sympos., Univ. Aarhus, Aarhus, 1978). Vol. 763. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1979, pp. 356–394.

[Wal85]

Friedhelm Waldhausen. “Algebraic \(K\)-theory of spaces”. In: Algebraic and geometric topology (New Brunswick, N.J., 1983). Vol. 1126. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1985, pp. 318–419. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0074449.