Waldhausen’s algebraic K-theory of spaces

Waldhausen は, [Wal78] で, 位相空間 \(X\) に対し, algebraic \(K\)-theory of spaces と呼ばれる空間 (infinite loop space) \(A(X)\) を構成した。

Malkiewich と Merling [MM19; MM22] によると, その動機は, \(h\)-cobordism theorem の parametrized version を定式化するため, だったようである。

• stable parametrized \(h\)-cobordism theorem [WJR13]

Waldhausen のアイデアは, 基点付き空間 \(X\) に対し, そのループ空間 \(\Omega X\) を “群” とみなし, \(\Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }(\Omega (X)_{+})\) を \(\Omega X\) の “group ring” とみなすことだった。 ここで, \((-)_{+}\) は基点を追加する functor であり, \(\Sigma ^{\infty }: \category {Top}_{*}\to \category {Sp}\) は suspension spectrum を取る functor, \(\Omega ^{\infty }\) はその right adjoint である。

Waldhausen は, [Wal78] では, \(\Omega X\) の simplicial model の \(\Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }(S^{0})\) 上の “group ring” の \(\GL \) の plus construction として定義している。 更に, その構成が, ある Waldhausen category に対する \(S_{\bullet }\)-construction として表せることも示している。その詳細が書かれたのが, Waldhausen [Wal85] である。つまり, このために導入されたのが Waldhausen category (Waldhausen の言葉では category with cofibrations and weak equivalences) とそれに対する algebraic \(K\)-theory の構成の拡張だった。

\(\Sigma ^{\infty }\) で spectrum の圏 \(\category {Sp}\) を経由しているし, \(A(X)\) は infinite loop space になることから, 現代的には, 空間ではなく spectrum level で構成すべきである。 実際そのような構成は, 色々考えられている。

例えば, Blumberg と Mandell [BM11] の最初に書かれているように, Waldhausen の構成は ring spectrum \(\Sigma ^{\infty }(\Omega (X)_{+})\) の algebraic \(K\)-theory とみなすべきである。

Blumberg と Mandell は, finite CW complex \(X\) の Spanier-Whitehead dual \(D(X)\) を augmented \(S\)-algebra とみなし, その上の module category の ある subcategory の \(K\)-theory としても \(A(X)\) が得られることを示している。

一方 loop space を取らないで suspension spectrum \(\Sigma ^{\infty }(X_{+})\) を取ると, diagonal \[ X_{+} \rarrow {\Delta _+} (X\times X)_{+} = (X_{+})\wedge (X_{+}) \] により spectrum の category の comonoid object が得られるが, Hess と Shipley [HS16] は \(A(X)\) が homotopically finite \(\Sigma ^{\infty }(X_{+})\)-comodule の category の Waldhausen \(K\)-theory として得られることを示している。

\(X\) が群 \(G\) の作用を持つときには, equivariant 版 \(A_{G}(X)\) が定義される。Malkiewich と Merling は, [MM19] で \(A_{G}(X)\) を定義し, それを用いて [MM22] で parametrized \(h\)-cobordism theorem の equivariant 版を証明している。

References

[BM11]

Andrew J. Blumberg and Michael A. Mandell. “Derived Koszul duality and involutions in the algebraic \(K\)-theory of spaces”. In: J. Topol. 4.2 (2011), pp. 327–342. arXiv: 0912 . 1670. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtr003.

[HS16]

Kathryn Hess and Brooke Shipley. “Waldhausen \(K\)-theory of spaces via comodules”. In: Adv. Math. 290 (2016), pp. 1079–1137. arXiv: 1402.4719. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2015.12.019.

[MM19]

Cary Malkiewich and Mona Merling. “Equivariant \(A\)-theory”. In: Doc. Math. 24 (2019), pp. 815–855. arXiv: 1609.03429.

[MM22]

Cary Malkiewich and Mona Merling. “The equivariant parametrized \(h\)-cobordism theorem, the non-manifold part”. In: Adv. Math. 399 (2022), Paper No. 108242, 42. arXiv: 2001 . 05563. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2022.108242.

[Wal78]

Friedhelm Waldhausen. “Algebraic \(K\)-theory of topological spaces. I”. In: Algebraic and geometric topology (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Part 1. Proc. Sympos. Pure Math., XXXII. Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 1978, pp. 35–60.

[Wal85]

Friedhelm Waldhausen. “Algebraic \(K\)-theory of spaces”. In: Algebraic and geometric topology (New Brunswick, N.J., 1983). Vol. 1126. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1985, pp. 318–419. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0074449.

[WJR13]

Friedhelm Waldhausen, Bjørn Jahren, and John Rognes. Spaces of PL manifolds and categories of simple maps. Vol. 186. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2013, pp. vi+184. isbn: 978-0-691-15776-4. url: https://doi.org/10.1515/9781400846528.