Euler Calculus

Euler標数を (負の値も許した) 測度とみなし, constructible function の積分を考えるというアイデアは, Viro [Vir88] と Schapira [Sch91]により, 80年代の終り頃に考えられたようである。Curry と Ghrist と Robinson の survey [CGR] があるので, まずはそれを読むべきだろう。それによると, その起源となったのは, 当然であるが, MacPherson [Mac74] とKashiwara [Kas73] による constructible functionの理論である。

• constructible function
• constructible sheaf

Viro と Schapira の論文が出た後, しばらくはあまり調べられていなかったが, 最近二つの方向から研究が進められている。

一つは, Ghrist らが考えている sensor networkの研究への応用である。 例えば, Baryshnikov と Ghrist の [BG09; BG10] がある。Bobrowski と Borman [BB]は persistent homologyとの関係を考えている。Schapira も工学的な応用 [Sch95] を考えていたようである。 その方向での拡張としては, McTague によるもの[McT]がある。

もう一つは, 代数幾何学を始めとした, 幾何学への応用である。McCrory と Parusinski の [MP07]や Bröcker の [Brö05] などは real algebraic geometry や o-minimal geometry への応用である。

Cluckers と Loeser の [CE07] は, Kontsevich の motivic integration の理論を Euler calculus の真似をして elementary な方法で構築する試みで興味深い。

他にも, Dutertre と Fukui [DF] の, 多様体の間の stable map への応用などもある。

References

[BB]

Omer Bobrowski and Matthew Strom Borman. Euler Integration of Gaussian Random Fields and Persistent Homology. arXiv: 1003.5175.

[BG09]

Yuliy Baryshnikov and Robert Ghrist. “Target enumeration via Euler characteristic integrals”. In: SIAM J. Appl. Math. 70.3 (2009), pp. 825–844. url: http://dx.doi.org/10.1137/070687293.

[BG10]

Yuliy Baryshnikov and Robert Ghrist. “Euler integration over definable functions”. In: Proc. Natl. Acad. Sci. USA 107.21 (2010), pp. 9525–9530. arXiv: 0909.4054. url: http://dx.doi.org/10.1073/pnas.0910927107.

[Brö05]

Ludwig Bröcker. “Euler integration and Euler multiplication”. In: Adv. Geom. 5.1 (2005), pp. 145–169. url: http://dx.doi.org/10.1515/advg.2005.5.1.145.

[CE07]

Raf Cluckers and Mário Edmundo. “Integration of positive constructible functions against Euler characteristic and dimension”. In: J. Pure Appl. Algebra 208.2 (2007), pp. 691–698. arXiv: math/0607165. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2006.03.005.

[CGR]

Justin Curry, Robert Ghrist, and Michael Robinson. Euler Calculus with Applications to Signals and Sensing. arXiv: 1202.0275.

[DF]

Nicolas Dutertre and Toshizumi Fukui. On the topology of stable maps. arXiv: 1009.2257.

[Kas73]

Masaki Kashiwara. “Index theorem for a maximally overdetermined system of linear differential equations”. In: Proc. Japan Acad. 49 (1973), pp. 803–804. url: http://projecteuclid.org/euclid.pja/1195519148.

[Mac74]

R. D. MacPherson. “Chern classes for singular algebraic varieties”. In: Ann. of Math. (2) 100 (1974), pp. 423–432. url: https://doi.org/10.2307/1971080.

[McT]

Carl McTague. A New Approach to Euler Calculus for Continuous Integrands. arXiv: 1511.00257.

[MP07]

Clint McCrory and Adam Parusiński. “Algebraically constructible functions: real algebra and topology”. In: Arc spaces and additive invariants in real algebraic and analytic geometry. Vol. 24. Panor. Synthèses. Paris: Soc. Math. France, 2007, pp. 69–85. arXiv: math/0202086.

[Sch91]

Pierre Schapira. “Operations on constructible functions”. In: J. Pure Appl. Algebra 72.1 (1991), pp. 83–93. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(91)90131-K.

[Sch95]

P. Schapira. “Tomography of constructible functions”. In: Applied algebra, algebraic algorithms and error-correcting codes (Paris, 1995). Vol. 948. Lecture Notes in Comput. Sci. Springer, Berlin, 1995, pp. 427–435. url: https://doi.org/10.1007/3-540-60114-7_33.

[Vir88]

O. Ya. Viro. “Some integral calculus based on Euler characteristic”. In: Topology and geometry—Rohlin Seminar. Vol. 1346. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin, 1988, pp. 127–138. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0082775.