Tame or o-minimal Geometry

Real algebraic variety や semialgebraic set の研究の一般化として, tame geometry とか \(o\)-minimal geometry と呼ばれるものがある。 Constructible function や constructible sheaf の理論とも関係が深い。

Van den Dries [Dri98; DM96] が中心となって研究を始めたようである。文献としては, 他には, Basu の論文 [Bas10; Bas08] や Coste の website から download できる本がある。

Nicolaescu の [Nic10] では, discrete Morse theory を含んだ Morse theory, つまり (gradient) flow の理論が展開されている。

Piekosz の [Piȩ13] は tame space 上の一般コホロモロジー論を含んだホモトピー論の試みである。 Piekosz 以前にも, singular homology の \(o\)-minimal版を考えた人もいるようであるが, それらについても, この Piekosz の論文の Introduction を見るとよい。

ホモトピー論としては, model category を用いたものとして, Barton と Commelin の [BC] がある。

References

[Bas08]

Saugata Basu. “On the number of topological types occurring in a parameterized family of arrangements”. In: Discrete Comput. Geom. 40.4 (2008), pp. 481–503. arXiv: 0704 . 0295. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00454-008-9079-5.

[Bas10]

Saugata Basu. “Combinatorial complexity in o-minimal geometry”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 100.2 (2010), pp. 405–428. arXiv: math/ 0612050. url: http://dx.doi.org/10.1112/plms/pdp031.

[BC]

Reid Barton and Johan Commelin. Model categories for o-minimal geometry. arXiv: 2108.11952.

[DM96]

Lou van den Dries and Chris Miller. “Geometric categories and o-minimal structures”. In: Duke Math. J. 84.2 (1996), pp. 497–540. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-96-08416-1.

[Dri98]

Lou van den Dries. Tame topology and o-minimal structures. Vol. 248. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge: Cambridge University Press, 1998, pp. x+180. isbn: 0-521-59838-9. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511525919.

[Nic10]

Liviu I. Nicolaescu. “Tame flows”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 208.980 (2010), pp. vi+130. arXiv: math / 0702424. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0065-9266-10-00602-2.

[Piȩ13]

Artur Piȩkosz. “O-minimal homotopy and generalized (co)homology”. In: Rocky Mountain J. Math. 43.2 (2013), pp. 573–617. arXiv: 0808. 3866. url: https://doi.org/10.1216/RMJ-2013-43-2-573.