Coxeter complex

Coxeter system からは, Coxeter complex という simplicial complex ができる。 Finite reflection group の場合, 原点を中心とした unit sphere が reflecting hyperplane により切られてできる regular cell complex と同型な simplicial complex である。

Abramenko [Abr94] が Coxeter complex と reflecting hyperplane の共通部分がまた Coxeter complex になるのはどのような場合か, という問題を考えている。

\(A_n\)型の Coxeter system の Coxeter complex を適当に blow-up すると, \(n\)点付き Riemann球面の moduli space \(\mathcal{M}_{0,n}(\bbC )\) (\(\CP ^1\) の \(n\) 個の点の configuration space) の Deligne-Knudsen-Mumford compactification \(\overline{\mathcal{M}}_{0,n}(\bbC )\) の double cover に同相になる, という事実を発見したのは, Kapranov [Kap93] らしい。 その一般化を試みたのが, Armstrong と Carr と Devadoss と Engler と Leiniger と Manapat の [Arm+09] である。そこでは一般の Coxeter complex の blow-up をある種の configuration space として表わす, ということが行なわれ, それにより Coxeter operad という operad が定義されている。

Babson と Reiner は, [BR04] で Coxeter complex の一般化を考えている。その skeleton の shellability については, Hersh が [Her09] で調べている。

• Coxeter-like complex

Alexander Miller [Mil] によると, complex reflection group の場合の類似は, Milnor fiber complex というものらしい。

• Milnor fiber complex

References

[Abr94]

Peter Abramenko. “Walls in Coxeter complexes”. In: Geom. Dedicata 49.1 (1994), pp. 71–84. url: https://doi.org/10.1007/BF01263535.

[Arm+09]

Suzanne M. Armstrong et al. “Particle configurations and Coxeter operads”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 4.1 (2009), pp. 83–109. arXiv: math/0502159.

[BR04]

Eric Babson and Victor Reiner. “Coxeter-like complexes”. In: Discrete Math. Theor. Comput. Sci. 6.2 (2004), pp. 223–251.

[Her09]

Patricia Hersh. “Shelling Coxeter-like complexes and sorting on trees”. In: Adv. Math. 221.3 (2009), pp. 812–829. arXiv: 0809.2414. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2009.01.007.

[Kap93]

Mikhail M. Kapranov. “The permutoassociahedron, Mac Lane’s coherence theorem and asymptotic zones for the KZ equation”. In: J. Pure Appl. Algebra 85.2 (1993), pp. 119–142. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(93)90049-Y.

[Mil]

Alexander R. Miller. Walls in Milnor fiber complexes. arXiv: 1710.03069.