連続写像に関する基本的な事柄

現代数学では, 2つの object を比較するときには, その間の morphism を用いる。この視点は, 恐らく Grothendieck により提案されたのだと思うが, その示唆することは多い。比較するということの意味を, 正確に述べることができるようになっただけでなく, 研究対象とする object がどの category に属するかを, 考えるようになった。 例えば, 可微分多様体の間の写像として, 普通は可微分写像を用いるが, ホモロジーを調べることが目的なら, 連続写像を用いてよい。 それは, homology という functor の定義域が, 位相空間と連続写像の成す圏 \(\category {Top}\) だからである。

代数的トポロジーで用いる functor は, ホモロジーのように, \(\category {Top}\) を定義域として用いるものが多い。 ホモロジーの公理をの述べるためには, 定義域を空間対の圏にしないといけないが。 ホモトピー群の場合は, 基点付き空間と基点を保つ写像の成す圏 \(\category {Top}_{*}\) が定義域である。 位相空間対に対してもホモトピー群は定義されるが。 このような場合, 2つの空間を比較するときには, 連続写像や, それに適当な条件を付け加えたものを用いる。

そこで, 代数的トポロジーを勉強するためには, 次のような写像 (category) を知っている必要がある。

• 位相空間と連続写像の成す圏 \(\category {Top}\)
• 基点付き空間と基点を保つ写像の成す圏 \(\category {Top}_{*}\)
• 空間対 \((X,A)\) と \((Y,B)\) の間の写像 \[ f : (X,A) \longrightarrow (Y,B), \] より一般に \(n\)-ad の間の写像 \[ f : (X;A_1,\ldots ,A_n) \longrightarrow (Y;B_1,\ldots ,B_n) \] の定義

そして, 代数的トポロジーで用いる関手は, ホモトピー不変性を持つものが多い。 ホモトピー群は当然であるが, 特異ホモロジー群がホモトピー不変性を持つことは, その構成方法からは, 想像し難い。とにかく, 写像の間のホモトピックという関係は基本的である。

• ホモトピーと関連した概念

2つの空間が “同じである” ということは, 当然どの category の object とみなすか, に依る。

基本的なのは以下のものである。

• 同相写像 (homeomorphism)
• 相対同相写像 (relative homeomorphism)
• ホモトピー同値写像 (homotopy equivalence)
• simple homotopy同値
• \(n\)同値
• 弱ホモトピー同値

Noncompact な空間を, 無限遠点でのふるまいも考慮して考えるためには, proper map, そして proper homotopy を考えるのがよいようである。 そのような圏でホモトピー論を行なうための枠組みも提案されている。

• proper map
• proper homotopy theory

被覆空間やorbifold など, 写像の局所的な性質が必要になる場合もある。

• 局所同相写像 (local homeomorphism)

同相写像の半分だけのものも考える。

• 閉写像 (closed map) や開写像 (open map)
• neighborhood retract や deformation retract などの retract の理論

弱ホモトピー同値に関係したものとして, acyclic map がある。

• acyclic map

Raptis [Rap19] は Berrick の本 [Ber82] と Hausmann と Husemoller の論文 [HH79] を参照している。 \(f:X\to Y\) が acyclic であることの最も有名な定義は, \(Y\) 上の任意の局所係数 \(M\) に対し, 誘導された写像 \(f_{*}: H_*(X;f^*(M))\to H_{*}(Y;M)\) が同型であること, だろう。 Raptis の論文での定義は, homotopy fiber の \(\Z \) 係数のホモロジーが自明であることであるが, Quillen の plus construction を用いた条件もその論文の Introduction に挙げられている。 Raptis は, 他に同値な条件を2つ見付けている。

このように, トポロジーでは様々な写像を用いるが, 全て連続写像である。そのため, トポロジーの世界にしばらくいると, 連続写像にどっぷり漬かってしまい, 連続ではない写像を扱うことに違和感を感じるようになる。 しかしながら, 多様体の間の連続ではない写像の空間を考えることもあるので, あまり連続性に拘泥るのもよくないかもしれない。

References

[Ber82]

A. Jon Berrick. An approach to algebraic \(K\)-theory. Vol. 56. Research Notes in Mathematics. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, Mass.-London, 1982, pp. iii+108. isbn: 0-273-08529-8.

[HH79]

Jean-Claude Hausmann and Dale Husemoller. “Acyclic maps”. In: Enseign. Math. (2) 25.1-2 (1979), pp. 53–75.

[Rap19]

George Raptis. “Some characterizations of acyclic maps”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 14.3 (2019), pp. 773–785. arXiv: 1711. 08898. url: https://doi.org/10.1007/s40062-019-00231-6.