String topology の基本

String topology とは何なのだろうか。 出発点は, Chas と Sullivan が発見 [CS] した多様体の free loop space のホモロジーの構造なので, まずはそれを理解すべきだろう。

• 多様体の free loop space の homology 上の Chas-Sullivan product の定義
• 多様体の free loop space の \(S^1\)-equivariant homology 上の Lie algebra の構造

Chas-Sullivan の string bracket の起源は, Goldman の [Gol86] で定義された, closed orientable surface 上の free loop のホモトピー類で張られる \(\Q \)-vector space 上の bracket にあるらしい。 Chas-Sullivan の論文の “§7 Example” にも, Goldman の結果を理解し一般化しようとしてこの理論を得た, と書いてある。

• Goldman bracket

Cap 積との関係については, Tamanoi の [Tam09a] がある。

Product だけでなく coproduct も定義できる。更に Frobenius algebra になることも証明できる。

• R. Cohen と Godin による loop coproduct の定義, そして Frobenius algebra になること [CG04]

つまり, 多様体の free loop space のホモロジーから topological field theory ができるということである。より正確には, \(p\) 個の incoming boundary circle と \(q\) 個の outgoing circle を持つ oriented surface \(\Sigma \) に対し \[ \mu _{\Sigma } : H_*((LM)^p) \longrightarrow H_*((LM)^q) \] が定義される。Tamanoi は [Tam10] で, この operator は, \(\Sigma \) の genus が \(1\) 以上のときには, 全て自明であることを示している。

より一般には, mapping class group の unstable homology の作用に拡張できる, つまり homological conformal field theory になる。 Godin の [God] を参照のこと。 Stable な作用が自明であることは, Tamanoi が [Tam09b] で示している。

String topology に対する approach としては, R. Cohen と J.D.S Jones の [CJ02] の方が, 現代的かつホモトピー論的である。つまり, Thom spectrum \(LM^{-TM}\) に ring spectrum の構造を定義するのである。よって, 一般ホモロジー \(h_*(-)\) に対しても, \(M\) が \(h_*(-)\) に関して orientable ならば, \(h_*(LM)\) に Chas-Sullivan product が定義できる。一般コホモロジーでは coproduct となるが, その coproduct とコホモロジー作用素との関係を調べているのが, Lahtinen [Lah] である。

\(LM\) 上の Morse theory を用いて string operation を記述しようという試み [CS09] もある。

Chas-Sullivan product の homotopy不変性については, 最初, R. Cohen と Klein と Sullivan が [CKS08] で証明したものであるが。 彼等のアプローチは, configuration space のホモトピー不変性の問題とも関係があり興味深い。

Le Borgne の [Borb] では, Serre spectral sequence を用いて調べる試みが述べられている。Cohen と Jones と Yan の [CJY04] で導入された spectral sequence との関連も述べられている。Le Borgne は, loop coproduct と Serre spectral sequence との関連も [Bora] で調べている。具体的な計算については, 他に Westerland の [Wes07] や Bökstedt と Ottosen の [OB07] などがある。彼等は [BO05] で string cohomology を計算するための spectral sequence を構成している。 一般ホモロジーに対しては, Meier の [Mei] がある。

Castillo と Diaz は Chas-Sullivan product に基づいて homological quantum field theory という概念を [CDa] で導入している。 [CDb] では, membrane homology を定義している。

Free loop space のホモロジーと Hochschild homology の関係から, Hochschild homology における Chas-Sullivan product に対応する積が何かという問題が考えられる。これについては, R. Cohen と Jones の [CJ02] による答えがある。また Felix と Menichi と Thomas の [FMT] では, based loop space の singular chain complex の Hochschild cohomology 上の Gerstenhaber algebra structure と同一視できることが示されている。

更に, Batalin-Vilkovisky structure については, Tradler の [Tra08] がある。これらのことについては Vaintrob の [Vai] の Introduction を見るとよい。この Vaintrob の論文の目的は, \(K(\pi ,1)\)-manifold の string topology BV-algebra の構造を求めることであるが。

具体的な多様体に対し, Batalin-Vilkovisky structure の構造を決定した例としては, 球面や射影空間 [CJY04] や Stiefel 多様体 [Tam06] がある。Lie群については, Hepworth の [Hepb] がある。Hepworth は [Hepa] で複素射影空間の場合を決定している。

References

[BO05]

Marcel Bökstedt and Iver Ottosen. “A spectral sequence for string cohomology”. In: Topology 44.6 (2005), pp. 1181–1212. arXiv: math/0411571. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.top.2005.04.006.

[Bora]

J. F. Le Borgne. The loop-coproduct spectral sequence. arXiv: math/0512276.

[Borb]

Le Borgne. String spectral sequence. arXiv: math/0409597.

[CDa]

Edmundo Castillo and Rafael Diaz. Homological Quantum Field Theory. arXiv: math/0509532.

[CDb]

Edmundo Castillo and Rafael Diaz. Membrane Topology. arXiv: math/0612218.

[CG04]

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[CJ02]

Ralph L. Cohen and John D. S. Jones. “A homotopy theoretic realization of string topology”. In: Math. Ann. 324.4 (2002), pp. 773–798. arXiv: math/0107187. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00208-002-0362-0.

[CJY04]

Ralph L. Cohen, John D. S. Jones, and Jun Yan. “The loop homology algebra of spheres and projective spaces”. In: Categorical decomposition techniques in algebraic topology (Isle of Skye, 2001). Vol. 215. Progr. Math. Basel: Birkhäuser, 2004, pp. 77–92. arXiv: math/0210353.

[CKS08]

Ralph L. Cohen, John R. Klein, and Dennis Sullivan. “The homotopy invariance of the string topology loop product and string bracket”. In: J. Topol. 1.2 (2008), pp. 391–408. arXiv: math/0509667. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtn001.

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[Tra08]

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[Vai]

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[Wes07]

Craig Westerland. “String homology of spheres and projective spaces”. In: Algebr. Geom. Topol. 7 (2007), pp. 309–325. arXiv: math/0602539. url: https://doi.org/10.2140/agt.2007.7.309.