Goldman Bracket

Goldman [Gol86] は, closed orientable surface \(M\) 上の free loop のホモトピー類の集合 \([S^1,M]\) と基本群の表現の成す空間 \(\Hom (\pi _1(M),G)/G\) を考えた。ここで \(G=\GL _n(\bbC )\) か \(\GL _n(\R )\) である。\(\Hom (\pi _1(M),G)/G\) は symplectic多様体になり, その上の smooth function の成す環に Poisson bracket が定義される。Goldmanは, その Poisson bracket に対応するように, ベクトル空間 \(\Q \langle [S^1,M] \rangle \) に Lie bracket を定義した。

これは, Chas-Sullivan の string topology の起源となったアイデアのようである。

Kawazumi と Kuno [KKb; KKa] は, その Lie algebra を Goldman Lie algebra と呼んでいる。彼らによると, Kontsevich [Kon93] により, Goldman Lie algebra の homological interpretation は, formal symplectic geometry の枠組みで与えられている。

Gadgil [Gad] は, 境界を持つ compact oriented surface の間のホモトピー同値写像が, 同相写像と homotopic になるかどうかの条件を, Goldman bracket で与えている。

Chas-Sullivan の string bracket は, 曲面だけでなく, 一般の oriented closed manifold に対して定義される。そこで, Chas-Sullivan の結果に対応するように, Goldman の結果を一般の oriented closed manifold に拡張することが考えられる。 それを行なったのが, Abbaspour と Zeinalian の [AZ07] である。

References

[AZ07]

Hossein Abbaspour and Mahmoud Zeinalian. “String bracket and flat connections”. In: Algebr. Geom. Topol. 7 (2007), pp. 197–231. arXiv: math/0602108. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2007.7.197.

[Gad]

Siddhartha Gadgil. The Goldman bracket characterizes homeomorphisms. arXiv: 1109.1395.

[Gol86]

William M. Goldman. “Invariant functions on Lie groups and Hamiltonian flows of surface group representations”. In: Invent. Math. 85.2 (1986), pp. 263–302. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01389091.

[KKa]

Nariya Kawazumi and Yusuke Kuno. The center of the Goldman Lie algebra of a surface of infinite genus. arXiv: 1009.4985.

[KKb]

Nariya Kawazumi and Yusuke Kuno. The logarithms of Dehn twists. arXiv: 1008.5017.

[Kon93]

Maxim Kontsevich. “Formal (non)commutative symplectic geometry”. In: The Gel\('\) fand Mathematical Seminars, 1990–1992. Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1993, pp. 173–187.