Invariants of Polytopes

多面体の不変量としては, 面の数とか, 多面体に含まれる lattice point の数とか, 数を数えるのが基本である。

• \(f\)-vector
• 多面体に含まれる lattice point の数

このような numerical invariant としては, 多面体の体積もある。[Xu11] の Introduction に挙げられている文献をみるとよい。Berline と Vergne の [BV12] で定義されている, 凸多面体の characteristic function の analytic continuation も lattice point に関係がある。 体積と関連の深い問題として, scissors congruence がある。

• 凸多面体の体積
• scissors congruence

代数的な不変量としては, まずは automorphism group が思い浮ぶ。 他にも様々なものが考えられている。

• automorphism group
• intersection cohomology [Bar+02]

幾何学的不変量としては, Billera, Kapranov, Sturmfels により cellular string の空間などがある。Cellular string の成す poset の order complex として得られるものであるが。

• poset of cellular strings

References

[Bar+02]

Gottfried Barthel, Jean-Paul Brasselet, Karl-Heinz Fieseler, and Ludger Kaup. “Combinatorial intersection cohomology for fans”. In: Tohoku Math. J. (2) 54.1 (2002), pp. 1–41. arXiv: math/0002181. url: http://projecteuclid.org/euclid.tmj/1113247177.

[BV12]

Nicole Berline and Michèle Vergne. “Analytic continuation of a parametric polytope and wall-crossing”. In: Configuration spaces. Vol. 14. CRM Series. Ed. Norm., Pisa, 2012, pp. 111–172. arXiv: 1104.1885. url: https://doi.org/10.1007/978-88-7642-431-1_6.

[Xu11]

Zhiqiang Xu. “Multivariate splines and polytopes”. In: J. Approx. Theory 163.3 (2011), pp. 377–387. arXiv: 0806.1127. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jat.2010.10.005.