Torsion Pair or Torsion Theory

Abel群の圏では, torsion group \(T\) から torsion free group \(F\) への準同型は存在しない。また任意のAbel群 \(M\) に対し, 位数有限の元から成る部分群を \(T(M)\) とすると, 完全列 \[ 0 \rarrow {} T(M)\rarrow {} M \rarrow {} M/T(M) \rarrow {} 0 \] ができる。つまり, torsion free group の torsion group による拡大として表すことができる。

この状況は, 当然一般の Abelian category でも考えることができるし, 実際 Spencer Dickson [Dic66] により torsion theory として定義されている。 部分圏の pair として定義されるので torsion pair と呼ばれることもある。 とても単純な構造なので, Abel圏以外でも類似のものが定義されている。

まず triangulated category での類似がある。Zhou と Zhu [ZZ18] によると Iyama と Yoshino により [IY08] で導入されたもののようである。

• torsion pair in triangulated category

Abel 圏の一般化は様々なものが考えられているので, それらについても torsion pair を考えようとしている人がいる。例えば, quasi-Abelian category については, Tattar [Tat21] により考えられている。

• torsion pair in quasi-Abelian category

より一般的な category に対し定義したものとして, Grandis と Janelidze の [GJ20] がある。“null morphism” の成す ideal が存在するような category への一般化を考えている。

更に一般的な category に対しては, Faccini と Finocchiaro の [FF20] で導入された pretorsion theory がある。 彼等の論文は preordered set の圏に関するものであるが, 一般的な定義が Appendix にある。

• pretorsion theory

アイデアは, preordered set \((P,\le )\) から \(x\sim y \Longleftrightarrow \) \(x\le y\) かつ \(y\le x\) と同値関係を定めると, \(P/_{\sim }\) として poset が得られること, のようである。

Torsion theory \((\cT ,\cF )\) の場合, \(\cT \cap \cF =0\) であるが, pretorsion theory の場合, \(\cT \cap \cF \) は一般には非自明である。 そして, \(\cT \cap \cF \) を factor する morphism を自明な morphism とみなす。 なので, Frobenius category のように, stable category が定義できる。

• stable category of pretorsion theory

Preordered set の圏の stable category については, Borceux ら [BCG22a; BCG22b] が調べている。

References

[BCG22a]

Francis Borceux, Federico Campanini, and Marino Gran. “The stable category of preorders in a pretopos I: general theory”. In: J. Pure Appl. Algebra 226.9 (2022), Paper No. 106997, 35. arXiv: 2201.05992. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2021.106997.

[BCG22b]

Francis Borceux, Federico Campanini, and Marino Gran. “The stable category of preorders in a pretopos II: the universal property”. In: Ann. Mat. Pura Appl. (4) 201.6 (2022), pp. 2847–2869. arXiv: 2201.08016. url: https://doi.org/10.1007/s10231-022-01222-w.

[Dic66]

Spencer E. Dickson. “A torsion theory for Abelian categories”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 121 (1966), pp. 223–235. url: https://doi.org/10.2307/1994341.

[FF20]

Alberto Facchini and Carmelo Antonio Finocchiaro. “Pretorsion theories, stable category and preordered sets”. In: Ann. Mat. Pura Appl. (4) 199.3 (2020), pp. 1073–1089. arXiv: 1902.06694. url: https://doi.org/10.1007/s10231-019-00912-2.

[GJ20]

Marco Grandis and George Janelidze. “From torsion theories to closure operators and factorization systems”. In: Categories and General Algebraic Structures with Applications 12.1 (2020), pp. 89–121. eprint: http://cgasa.sbu.ac.ir/article__0c1c5fa4883df149427bc85e20ea26cb87116.pdf. url: http://cgasa.sbu.ac.ir/article_87116.html.

[IY08]

Osamu Iyama and Yuji Yoshino. “Mutation in triangulated categories and rigid Cohen-Macaulay modules”. In: Invent. Math. 172.1 (2008), pp. 117–168. arXiv: math / 0607736. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-007-0096-4.

[Tat21]

Aran Tattar. “Torsion pairs and quasi-abelian categories”. In: Algebr. Represent. Theory 24.6 (2021), pp. 1557–1581. arXiv: 1907.10025. url: https://doi.org/10.1007/s10468-020-10004-y.

[ZZ18]

Yu Zhou and Bin Zhu. “Mutation of torsion pairs in triangulated categories and its geometric realization”. In: Algebr. Represent. Theory 21.4 (2018), pp. 817–832. arXiv: 1105 . 3521. url: https://doi.org/10.1007/s10468-017-9740-x.