Reedy model structure

Simplicial space の圏のように, あるモデル圏の simplicial object の圏は, モデル圏の構造を持つ。Cosimplicial object の圏もそうである。

より一般に, ある small category \(\mathcal{C}\) からモデル圏 \(\bm{M}\) への functor のなす圏が, どういう場合にモデル圏になるか, という問題がある。これに対する解答の一つとして, Reedy category という概念がある。

• Reedy category
• \(\Delta \) は Reedy category
• \(C\) が Reedy category ならば, \(C\) からモデル圏 \(\bm{M}\) への functor のなす圏は, object ごとの weak equivalence を weak equivalence とするモデル構造を持つ。

この事実は, 元々は Kan によるものらしい。Hirschhorn の本 [Hir03] に詳しい。Barwick の [Bar] も見るとよい。

その enriched version を Angeltveit が [Ang08] で考えている。 Berger と Moerdijk による拡張 [BM] もある。

Hirschhorn と Volić [HV] は, model category \(\bm{M}\) が与えられたとき, 2つの Reedy category \(C\) と \(D\) の間の Reedy functor \(f:C\to D\) から誘導された functor \(f^*: \bm{M}^{D}\to \bm{M}^{C}\) が, left あるいは right Quillen functor になる条件を考えている。

References

[Ang08]

Vigleik Angeltveit. “Enriched Reedy categories”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 136.7 (2008), pp. 2323–2332. arXiv: math/0612137. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-08-09185-5.

[Bar]

Clark Barwick. On Reedy Model Categories. arXiv: 0708.2832.

[BM]

Clemens Berger and Ieke Moerdijk. On an extension of the notion of Reedy category. arXiv: 0809.3341.

[Hir03]

Philip S. Hirschhorn. Model categories and their localizations. Vol. 99. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003, pp. xvi+457. isbn: 0-8218-3279-4.

[HV]

Philip S. Hirschhorn and Ismar Volic. Functors between Reedy model categories of diagrams. arXiv: 1511.04809.