Quandle のホモロジー

Quandle のコホモロジーは, Carter, Jelsovsky, Kamada, Langford, Saito の [Car+03] で定義されたようである。Bar construction の類似により, rack に対しても定義されるものが基本であるが, quandle に対してはその中で “degenerate な部分” を取り除くことができ, 残りの部分を quandle homology という。

• rack homology \(H_n^R(X)\)
• degeneration homology \(H_n^D(X)\)
• quandle homology \(H_n^Q(X)\)
• split short exact sequenceがある ([LN03]) \[ 0 \to H_n^D(X) \to H_n^R(X) \to H_n^Q(X) \to 0 \]

結び目への応用のためには, ホモロジーの cycle を図で表して理解する [CKS01] のがよいようである。

もちろん, 具体的な計算も色々行なわれている。 Alexander quandle のホモロジーについては, Mochizuki の [Moc05] がある。Niebryzdowski と Przytycki [NP09] はdihedral quandle のホモロジーを調べている。

Rack や quandle のホモロジーは, (degeneracy operator を持たない) cubical set に基づくものであるが, Inoue と Kabaya [IK] が (degeneracy operator を持たない) simplicial set に基づいたものを定義している。

References

[Car+03]

J. Scott Carter, Daniel Jelsovsky, Seiichi Kamada, Laurel Langford, and Masahico Saito. “Quandle cohomology and state-sum invariants of knotted curves and surfaces”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 355.10 (2003), pp. 3947–3989. arXiv: math/9903135. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-03-03046-0.

[CKS01]

J. Scott Carter, Seiichi Kamada, and Masahico Saito. “Geometric interpretations of quandle homology”. In: J. Knot Theory Ramifications 10.3 (2001), pp. 345–386. arXiv: math/0006115. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0218216501000901.

[IK]

Ayumu Inoue and Yuichi Kabaya. Quandle homology and complex volume. arXiv: 1012.2923.

[LN03]

R. A. Litherland and Sam Nelson. “The Betti numbers of some finite racks”. In: J. Pure Appl. Algebra 178.2 (2003), pp. 187–202. arXiv: math/0106165. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(02)00211-6.

[Moc05]

Takuro Mochizuki. “The 3-cocycles of the Alexander quandles \(\F _{q}[T]/(T-\omega )\)”. In: Algebr. Geom. Topol. 5 (2005), pp. 183–205. arXiv: math/0210419. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2005.5.183.

[NP09]

M. Niebrzydowski and J. H. Przytycki. “Homology of dihedral quandles”. In: J. Pure Appl. Algebra 213.5 (2009), pp. 742–755. arXiv: math/0611803. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2008.09.010.