Knot や link の不変量

Knot や link の不変量と, \(3\)次元多様体についての問題のリストとして, [Oht02] がある。

Crossing の数が少ない prime knot について, 基本的な knot 不変量の知られていない場合をまとめた [CL] というものもある。

基本的な代数的トポロジーの知識だけで定義されるものとしては, 補集合の基本群がある。 私は, 学部生時代に, Crowell と Fox の本 [CF77] で知った。

• knot group

不変量としては, 多項式不変量が古くから考えられている。 その categorification として, 各種 knot homology が構成されている。 代数的トポロジーと直接関係あるものとしては, 結び目の空間などがある。

• knot や link の多項式不変量
• knot homology
• 結び目の空間

Knot や link の不変量として, quandle を用いたものがあるが, それについては, Kamada の survey [Kam02] や解説 [Kam16] がある。 Saito のノート [Sai] もある。

Vassiliev の finite type invariant については, Chmutov と Duzhin と Mostovoy の [CDM12] もある。

• finite type invariant

Chmutov らの本の Chapter 5によると, Vassiliev の不変量の研究は, 大きな部分が chord diagram の成す algebra の研究に帰着されるようである。 そして更に, Jacobi diagram という graph の一種を用いることで Lie algebra を使えるようになるらしい。

Moskovich の [Mos] は, acyclic Jacobi diagram の成す空間について調べている。Kricker の [Kri11] は, 特性類の Chern-Weil 理論の非可換化を考えた Alekseev と Meinrenken の [AM05] のアイデアを使っていて興味深い。

Seidel と Smith [SS06] は, link を braid, つまり configuration space での loop を切り開いたものとみなし, configuration space 上の symplectic fibration を考えている点で興味深い。

その fiber として現れる symplectic manifold が, ある complex surface の点の Hilbert scheme に open dense subset として埋め込めることを発見したのは Manolescu [Man06] である。 その曲面は \(A\) 型の Klein 型特異点の deformation として得られるものであり, 興味深い。他の古典型の場合にも Jackson [Jac] が同様のことが成り立つことを示していて, Klein 型特異点の stability condition の空間との関係が気になるところである。

Oszvath と Szabo の [OS08] によると, Thurston は [Thu86] で \(S^3\) の中の link \(L\) に対し semi-norm \[ x: H_2(S^3,L;\R ) \longrightarrow \R \] を定義した。この semi-norm の dual に関する unit ball は多面体になり, Thurston polytope という, らしい。彼等は, [OS] で定義した link Floer homology 上で定義される semi-norm との関係を調べている。

• Thurston polytope

Link に対する Arf invariant を定義することもできる。Gilmer の [Gil07] によると Robertello により proper link に対し定義されたらしい。[Gil92; Gil93] でその拡張が定義されている。

Przytycki の [Prz] は, skein module を用いて knot などの “subobject” の algebraic topology を構築することを目的にしているらしい。

References

[AM05]

Anton Alekseev and Eckhard Meinrenken. “Lie theory and the Chern-Weil homomorphism”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 38.2 (2005), pp. 303–338. arXiv: math/0308135. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.ansens.2004.11.004.

[CDM12]

S. Chmutov, S. Duzhin, and J. Mostovoy. Introduction to Vassiliev knot invariants. Cambridge: Cambridge University Press, 2012, pp. xvi+504. isbn: 978-1-107-02083-2. arXiv: 1103.5628. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9781139107846.

[CF77]

Richard H. Crowell and Ralph H. Fox. Introduction to knot theory. Reprint of the 1963 original, Graduate Texts in Mathematics, No. 57. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977, pp. x+182.

[CL]

Jae Choon Cha and Charles Livingston. Unknown values in the table of knots. arXiv: math/0503125.

[Gil07]

Patrick M. Gilmer. “Arf invariants of real algebraic curves”. In: Pacific J. Math. 230.2 (2007), pp. 297–313. arXiv: math/0510125. url: http://dx.doi.org/10.2140/pjm.2007.230.297.

[Gil92]

Patrick Gilmer. “Real algebraic curves and link cobordism”. In: Pacific J. Math. 153.1 (1992), pp. 31–69. url: http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102635971.

[Gil93]

Patrick M. Gilmer. “Link cobordism in rational homology \(3\)-spheres”. In: J. Knot Theory Ramifications 2.3 (1993), pp. 285–320. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0218216593000179.

[Jac]

Craig Jackson. Nilpotent orbits and Hilbert schemes. arXiv: math/0701909.

[Kam02]

Seiichi Kamada. “Knot invariants derived from quandles and racks”. In: Invariants of knots and 3-manifolds (Kyoto, 2001). Vol. 4. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2002, 103–117 (electronic). arXiv: math/0211096. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2002.4.103.

[Kam16]

Seiichi Kamada. “Quandles and knot invariants [translation of MR2978543]”. In: Sugaku Expositions 29.1 (2016), pp. 17–39.

[Kri11]

Andrew Kricker. “Noncommutative Chern-Weil theory and the combinatorics of wheeling”. In: Duke Math. J. 157.2 (2011), pp. 223–281. arXiv: math/0612653. url: http://dx.doi.org/10.1215/00127094-2011-005.

[Man06]

Ciprian Manolescu. “Nilpotent slices, Hilbert schemes, and the Jones polynomial”. In: Duke Math. J. 132.2 (2006), pp. 311–369. arXiv: math/0411015. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-06-13224-6.

[Mos]

Daniel Moskovich. Acyclic Jacobi Diagrams. arXiv: math/0507351.

[Oht02]

T. Ohtsuki. “Problems on invariants of knots and 3-manifolds”. In: Invariants of knots and 3-manifolds (Kyoto, 2001). Vol. 4. Geom. Topol. Monogr. With an introduction by J. Roberts. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2002, pp. i–iv, 377–572. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2002.4.

[OS]

Peter Ozsváth and Zoltan Szabó. Holomorphic disks and link invariants. arXiv: math/0512286.

[OS08]

Peter Ozsváth and Zoltán Szabó. “Link Floer homology and the Thurston norm”. In: J. Amer. Math. Soc. 21.3 (2008), pp. 671–709. arXiv: math/0601618. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-08-00586-9.

[Prz]

Jozef H. Przytycki. Skein modules. arXiv: math/0602264.

[Sai]

Masahico Saito. Notes on quandle invariants of knots and extensions. url: https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kiyonok/ym2014/saito.pdf.

[SS06]

Paul Seidel and Ivan Smith. “A link invariant from the symplectic geometry of nilpotent slices”. In: Duke Math. J. 134.3 (2006), pp. 453–514. arXiv: math/0405089. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-06-13432-4.

[Thu86]

William P. Thurston. “A norm for the homology of \(3\)-manifolds”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 59.339 (1986), i–vi and 99–130.