“有限なもの”の成す圏の pro-object を profinite object という。最も一般的なのは, 有限群の圏の pro-object である
profinite group だろう。
Profinite group は Galois theory や étale homotopy theory など, 様々な場面で登場するので,
本もいくつか出ている。 Ribes の [Rib70], Shatz の [Sha72], Wilson の [Wil98] などがある。Dixon と du
Sautoy と Mann と Segal の本 [Dix+99] は pro-\(p\) group に関するものである。 最も最近のものは, Ribes と
Zalesskii の [RZ10] だろうか。
他には, Serre の Galois cohomology の本 [Ser94] の最初にもまとめがあるし, Lenstra の Galois
category に関する lecture note [Len08] には, 演習問題も含んだ解説がある。
他の代数的構造に対しても profinite 版が定義できる。 例えば, Mazel-Gee と Peterson と Stapleton [MPS]
は profinite ring の 圏を含む piped ring の圏を定義している。
有限集合に基いた幾何学的な対象は finite space ぐらいであるが, simplicial set を使えば, profinite simplicial
set は定義できる。各次数で有限集合になっている simplicial set の圏の pro-object である。あるいは, profinite set
の圏での simplicial object と思ってもよい。 Quick [Qui08; Qui11] はそのようなものを profinite space
と呼んでいる。
その homotopy theory を展開するためには, profinite homotopy type の概念が必要になる。最初に考えたのは
Artin と Mazur [AM86] なのだろうか。もちろん, profinite space の model category や \((\infty ,1)\)-category
などが考えられればもっとよい。後者については, やはり Lurie が [Lur] の中で考えている。
Carchedi, Scherotzke, Sibilla, Talpo は [Car+] の中で topological stack の
profinite homotopy type を考えている。その動機は, log scheme の profinite homotopy type
を考えることであるが。
References
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[AM86]
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[Car+]
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David Carchedi, Sarah Scherotzke, Nicolò Sibilla, and Mattia
Talpo. Kato-Nakayama spaces, infinite root stacks, and the profinite
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[Dix+99]
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pro-\(p\) groups. Second. Vol. 61. Cambridge Studies in Advanced
Mathematics. Cambridge: Cambridge
University Press, 1999, pp. xviii+368. isbn: 0-521-65011-9. url:
http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511470882.
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[Lur]
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[Qui08]
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[Qui11]
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Gereon Quick. “Continuous group actions on profinite spaces”. In: J.
Pure Appl. Algebra 215.5 (2011), pp. 1024–1039. arXiv: 0906.0245.
url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2010.07.008.
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Queen’s Papers in Pure and Applied Mathematics, No. 24. Kingston,
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[RZ10]
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Luis Ribes and Pavel Zalesskii. Profinite groups. Second. Vol. 40.
Ergebnisse der
Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern
Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas.
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[Ser94]
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isbn: 3-540-58002-6.
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[Sha72]
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[Wil98]
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John S. Wilson. Profinite groups. Vol. 19. London Mathematical
Society Monographs. New Series. New York: The Clarendon Press
Oxford University Press, 1998, pp. xii+284. isbn: 0-19-850082-3.
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