Bollobas-Riordan polynomial

Bollobás-Riordan polynomial とは, ribbon graph に対する Tutte polynomial の一般化であり, Bollobás と Riordan [BR01; BR02] により発見されたものである。

当然, Tutte polynomial に関して成り立つことを Bollobás-Riordan polynomial へ一般化することが試みられている。例えば, Bollobas-Riordan polynomial の categorification は, Loebl と Moffatt が [LM08] で考えている。

Chmutov と Pak [CP07a; CP07b] は, ribbon graph \(G\) から作られる link \(L_G\) に対し, その Kauffman bracket \([L_G]\) が \(G\) の Bollobás-Riordan polynomial の evaluation で得られることを示している。 よって, Jones polynomial が Bollobás-Riordan polynomial から得られることになる。

Ellis-Monaghan と Sarmiento [ES11] は, Bollobás-Riordan polynomial の recipe theorem を得ている。またそれにより, Chmutov と Pak の結果の解釈を与えている。

Chmutov は, [Chm09] で ribbon graph に対する duality の概念を定義した。 Moffatt [Mof] は, partial duality と呼んでいる。Moffatt は, Bollobas-Riordan polynomial と partial duality の関係について調べている。

References

[BR01]

Béla Bollobás and Oliver Riordan. “A polynomial invariant of graphs on orientable surfaces”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 83.3 (2001), pp. 513–531. url: http://dx.doi.org/10.1112/plms/83.3.513.

[BR02]

Béla Bollobás and Oliver Riordan. “A polynomial of graphs on surfaces”. In: Math. Ann. 323.1 (2002), pp. 81–96. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002080100297.

[Chm09]

Sergei Chmutov. “Generalized duality for graphs on surfaces and the signed Bollobás-Riordan polynomial”. In: J. Combin. Theory Ser. B 99.3 (2009), pp. 617–638. arXiv: 0711.3490. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jctb.2008.09.007.

[CP07a]

Sergei Chmutov and Igor Pak. “The Kauffman bracket of virtual links and the Bollobás-Riordan polynomial”. In: Mosc. Math. J. 7.3 (2007), pp. 409–418, 573. arXiv: math/0404475. url: https://doi.org/10.17323/1609-4514-2007-7-3-409-418.

[CP07b]

Sergei Chmutov and Igor Pak. “The Kauffman bracket of virtual links and the Bollobás-Riordan polynomial”. In: Mosc. Math. J. 7.3 (2007), pp. 409–418, 573. arXiv: math/0609012.

[ES11]

Joanna A. Ellis-Monaghan and Irasema Sarmiento. “A recipe theorem for the topological Tutte polynomial of Bollobás and Riordan”. In: European J. Combin. 32.6 (2011), pp. 782–794. arXiv: 0903.2643. url: https://doi.org/10.1016/j.ejc.2011.01.019.

[LM08]

Martin Loebl and Iain Moffatt. “The chromatic polynomial of fatgraphs and its categorification”. In: Adv. Math. 217.4 (2008), pp. 1558–1587. arXiv: math/0511557. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2007.11.016.

[Mof]

Iain Moffatt. Partial duality and Bollobas and Riordan’s ribbon graph polynomial. arXiv: 0809.3014.