Polynomial Functors in the Sense of Eilenberg-Mac Lane

Eilenberg と Mac Lane は, 論文 [EM54] で Abelian category の間の (additve とは限らない) 関手に対し, その cross-effect (deviation) を定義した。\(f:A\to B\) が Abel 群の間の (準同型とは限らない) 写像のとき, \[ \mathrm {cr}_{1}f(x_1,x_2) = f(x_{1}+x_{2}) - f(x_{1}) - f(x_{2}) \] として写像 \(\mathrm {cr}_{1}f: A\times A\to B\) を定義すると, \(f\) が準同型であるための必要十分条件は \(\mathrm {cr}_{1}f=0\) である。 準同型を, 定数項の無い一次多項式とみなし, より高次の cross-effect が消えることで, Abel 群の間の多項式写像が定義できる。そして, その圏論的類似で cross-effect, そして polynomial functor が定義される。 ただし, この “polynomial functor” という用語は, species の文脈でも全く異なる意味で使われるので, 注意しないといけない。

• cross-effect

その構成を理解するためには, 上で説明したように, まず Abel 群の間の多項式写像を知っておくのが良いと思う。 それについては, Joukhovitski の論文 [Jou00] の section 1 を見るのが良いと思う。

• polynomial map between Abelian groups

Abelian category, そしてより一般に additive category の間の additive とは限らない関手については, Dold と Puppe が [DP58; DP61] などで調べている。

また, homotopy functor の場合に類似のことを考えたのが Goodwillie の関手の微分に関する仕事と言うこともできるだろう。

• calculus of functor

Dold は [Dol72] で polynomial functor から Grothendieck group の間に写像が誘導されることを示しているが, その構成は, Barwick ら [Bar+] により, stable \((\infty ,1)\)-category の algebraic \(K\)-theory の場合に一般化されている。

Barwick らは, stable \((\infty ,1)\)-category の algebraic \(K\)-theory が, polynomial functor に関し functorial であることを示している。

References

[Bar+]

Clark Barwick, Saul Glasman, Akhil Mathew, and Thomas Nikolaus. \(K\)-theory and polynomial functors. arXiv: 2102.00936.

[Dol72]

Albrecht Dold. “\(K\)-theory of non-additive functors of finite degree”. In: Math. Ann. 196 (1972), pp. 177–197. url: https://doi.org/10.1007/BF01428048.

[DP58]

Albrecht Dold and Dieter Puppe. “Non-additive functors, their derived functors, and the suspension homomorphism”. In: Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 44 (1958), pp. 1065–1068. url: https://doi.org/10.1073/pnas.44.10.1065.

[DP61]

Albrecht Dold and Dieter Puppe. “Homologie nicht-additiver Funktoren. Anwendungen”. In: Ann. Inst. Fourier Grenoble 11 (1961), pp. 201–312.

[EM54]

Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane. “On the groups \(H(\Pi ,n)\). II. Methods of computation”. In: Ann. of Math. (2) 60 (1954), pp. 49–139. url: https://doi.org/10.2307/1969702.

[Jou00]

Seva Joukhovitski. “\(K\)-theory of the Weil transfer functor”. In: vol. 20. 1. Special issues dedicated to Daniel Quillen on the occasion of his sixtieth birthday, Part I. 2000, pp. 1–21. url: https://doi.org/10.1023/A:1007822701416.