Persistent homology の変種や関連した概念

Persistent homology より前に, 同じ動機で Frosini により導入された概念として size function というものがある。 Di Fabio と Landi の [FLa] では, computer vision における shape recognition への応用が考えられている。

• size function

更に, Frosini と Mulazzani は, [FM99] で size homotopy group というものも導入している。またベクトルに値を持つ size function も考えられている。Size functor [CFP01] という概念もあるらしい。

Cagliari らは [CDF10] で persistent homology と size function の関係について述べている。

Homology があれば cohomology もある。そして対の (co)homology もある。 それらの persistent 版の関係については, de Silva と Morosov と Vejdemo-Johansson の [SMV11] を見るとよい。

• absolute persistent homology
• absolute persistent cohomology
• relative persistent homology
• relative persistent cohomology

Knudson の [Knu08] によると, Zomorodian と Carlsson により, filtered space のホモロジーとして調べられているが, 実際の応用では複数の filtration の入った multifiltered space の場合を考える必要があるようである。そこで Carlsson と Zomorodian は, multidimension 版を [CZ09] で考えている。 Multidimensional persistent homology を調べたものとしては, Frosini ら [Cer+; FLb; Cer+13] のベクトルに値を持つ size function によるものもある。これについては, Kashiwara と Schapira [KS18] による, constructible sheaf の derived category を用いた formulation もある。その続編 [KS21] も出た。

• multidimensional persistence

Persistent homology の元になる filtered chain complex を作る方法としては, 写像 \(f:X\to \R \) による \(X\) の filtration から作るものもある。 それを一般の多様体に値を持つ写像に拡張する試みとして, MacPherson と Patel の [MP] がある。

他の一般化としては, A型の quiver を用いる zigzag persistence がある。Carlsson と de Silva [CS10] により導入された。 Tausz と Carlsson [TC] が3つの応用について述べている。 その拡張として parametrized homology というもの [Ver] もある。Carlsson と de Silva と Morozov によるらしい。

• zigzag persistence
• parametrized homology

より一般に, Gabriel の定理により D型, E型の quiver による図式に対する persistent homology も barcode で表される。

ADE quiver でないものについては, 例えば, 梯子型の small category の場合がある。 Escolar と Hiraoka の [EH16] や Asashiba, Escolar, Hiraoka, Takeuchi の [Asa+19] で調べられている。Underlying quiver が acyclic である図式の場合は, Chambers と Letcher [CL18] により考えられている。 Ogle [OS] は, 一般の poset で index された図式を考えているが, module に制限を付けることで ADE quiver の場合と同様のことが成り立つようにしている。

群作用のある場合については, Frosini [Fro; FJ] が考えている。

• \(G\)-invariant persistent homology

特異ホモロジー版を Goldfarb [Gol] が導入している。

• singular persistent homology

Chowdhury と Mémoli [CM18] は, Grigor\('\)yan, Lin, Muranov, Yau が [Gri+] で導入した path homology と呼ばれる quiver のホモロジーを用い, quiver の filteration に対して persistent homology を調べている。

• quiver の persistent path homology

Saveliev は [Sav]で, ホモロジー類がいつ生れていつ死ぬかを無視し, どれだけ長く生きているかだけを見ることを提案し, homology of filtration というものを定義している。

Burghelea と Dey [BD13] は, \(S^1\) に値を持つ写像の persistence について考えているが, quiver の表現が不変量として出てきていて面白い。

Belchi と Murillo [BM15; Bel19] は, \(A_{\infty }\)-coalgebra structure を入れたものを考えている。実際の問題にどの程度有用なのかは不明であるが。 また, Herscovich [Her]は, Kadeishvili の, dg algebra のコホモロジーが \(A_{\infty }\)-algebra の構造を持つという結果 [Kad82] に着目し, persistent cohomology が multiplicative な filtration からできている場合に, その \(A_{\infty }\)-structure を調べている。

Persistence は, ホモロジー以外にも使われるようになってきた。Franek と Krčál の [FK] では cohomotopy 群が使われている。 Rieser [Rie] は, persistent homotopy 群を定義している。

Edelsbrunner と Wagner [EW] は persistet homology の対象を, 一般化された距離を持つ point cloud に拡張することを試みている。

References

[Asa+19]

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