Definitions and Constructions of Intersection (Co)homology

最初の Goresky と MacPherson による intersection homology の定義 [GM80] は, 単体的複体の homology の類似だったが, その後, cohomology については perverse sheaf を用いた定義が発見 [GM83] され, 代数幾何学表現論などに応用されている。

“Perverse” という言葉がどうして選ばれたかについて, MathOverflow のこの質問 で聞かれているが, それに対し Goresky が答えている。

この sheaf による intersection cohomology の定義については, stratified space 上の constructible sheafderived category の \(t\)-structure としての解釈が, Beiinson と Bernstein と Deligne [BBD82] により得られている。 Deligne はそれを scheme 上の coherent sheaf に一般化することを考えていたようであるが, それは未出版のようである。 それを書いたのが Arinkin と Bezrukavnikov の [AB10] である。Vitoria [Vit14] は, それを torsion theory で書き直せることを示しているが, それにより, 非可換な世界へも適用できるようである。

代数的トポロジーで, 単体的複体のホモロジーが特異ホモロジーで置き換わったように, 単体分割を用いた intersection homology に対し特異 intersection homology を定義しようという試みもある。 King の試み [Kin85] が最初であり, その後 Gajer [Gaj96] により simplicial set を用いて定義された。更に, King の定義を 局所係数でも使えるように改良した Friedman の定義 [Fri07] もある。この Friedman の定義では perversity に関する条件も不要になっている。一般の perversity に対する intersection homology の拡張としては, Saralegi-Aranguren のもの [Sar05] もある。

Friedman は, その一般の perversity に対する intersection homology に基づいた singular intersection homology について書いた本 [Fri20] を出している。 トポロジーの人は, まずこの本を読んでみるのがよいと思う。

Hovey は [Hov09] で intersection homology の categorical foundation として何が適当かを考えている。それによると, intersection homology は, perversity の成す poset から module のcategory への functor と解釈すべきのようである。Hovey は, そのような functor の成す Abelian category を調べている。それは, Friedman [Fri09] によって使われている。

Toric variety に対しては, 付随する rational polytope による記述がある。 それを, rational とは限らない多面体に拡張したものとして, Karu の [Kar04] がある。

  • intersection cohomology of convex polytopes

有理ホモトピー論の視点から考えているのは, Chataur と Saralegi-Arangurenと Tanré [CST18a] である。 その目的は, Sullivan の minimal model を stratified space に一般化することだったようである。 そのために, filtered \(\Delta \)-set (semisimplicial set) を使って, blown-up intersection cohomology という構成を導入している。

  • blown-up intersection cohomology

彼等は, [CST18c] で, その性質を調べている。 Chataur らは, [CST18b] で 彼等の blown-up intersection cohomology での Poincaré duality を証明している。

位相空間のホモロジーの公理化の類似も考えられている。

  • Mayer-Vietoris sequecne
  • 切除同型
  • Gajer による intersection homology の公理 [Gaj96; Gaj98]
  • Gajer の intersection homology の公理をみたす homology theory の比較定理

可微分多様体の場合は, 微分形式を用いた de Rham cohomology と singular cohomology との間の同型があるが, intersection cohomology についても類似のものがある。ただし微分形式として \(L^p\)-form (\(1<p\le \infty \)) を用いた de Rham cohomology の変種を用いる。 これは Cheeger [Che79; Che80] によるものである。 詳しくは, Valette の [Val12] を見るとよい。 他にも, Goresky と MacPherson による通常の微分形式を用いたものもあるらしい。Saralegi [Sar94] によると, Brylinski の 1986年の preprint “Equivariant intersection cohomology” に書かれているらしい。 それを改良したのが, この Saralegi の論文である。

  • intersection cohomology に対する de Rham の定理の類似

References

[AB10]

Dmitry Arinkin and Roman Bezrukavnikov. “Perverse coherent sheaves”. In: Mosc. Math. J. 10.1 (2010), pp. 3–29, 271. arXiv: 0902.0349.

[BBD82]

A. A. Beı̆linson, J. Bernstein, and P. Deligne. “Faisceaux pervers”. In: Analysis and topology on singular spaces, I (Luminy, 1981). Vol. 100. Astérisque. Paris: Soc. Math. France, 1982, pp. 5–171. url: http://numdam.org/item/AST_1982__100__1_0/.

[Che79]

Jeff Cheeger. “On the spectral geometry of spaces with cone-like singularities”. In: Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 76.5 (1979), pp. 2103–2106.

[Che80]

Jeff Cheeger. “On the Hodge theory of Riemannian pseudomanifolds”. In: Geometry of the Laplace operator (Proc. Sympos. Pure Math., Univ. Hawaii, Honolulu, Hawaii, 1979). Proc. Sympos. Pure Math., XXXVI. Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 1980, pp. 91–146.

[CST18a]

David Chataur, Martintxo Saralegi-Aranguren, and Daniel Tanré. “Intersection cohomology, simplicial blow-up and rational homotopy”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 254.1214 (2018), pp. viii+108. arXiv: 1205.7057. url: https://doi.org/10.1090/memo/1214.

[CST18b]

David Chataur, Martintxo Saralegi-Aranguren, and Daniel Tanré. “Poincaré duality with cap products in intersection homology”. In: Adv. Math. 326 (2018), pp. 314–351. arXiv: 1603.08773. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2017.12.017.

[CST18c]

David Chataur, Martintxo Saralegi-Aranguren, and Daniel Tanré. “Blown-up intersection cohomology”. In: An alpine bouquet of algebraic topology. Vol. 708. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., [Providence], RI, [2018] ©2018, pp. 45–102. arXiv: 1701.00684. url: https://doi.org/10.1090/conm/708/14263.

[Fri07]

Greg Friedman. “Singular chain intersection homology for traditional and super-perversities”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 359.5 (2007), 1977–2019 (electronic). arXiv: math/0407301. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-06-03962-6.

[Fri09]

Greg Friedman. “On the chain-level intersection pairing for PL pseudomanifolds”. In: Homology, Homotopy Appl. 11.1 (2009), pp. 261–314. arXiv: 0808. 1749. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1251832568.

[Fri20]

Greg Friedman. Singular intersection homology. Vol. 33. New Mathematical Monographs. Cambridge University Press, Cambridge, 2020, pp. xxiii+798. isbn: 978-1-107-15074-4. url: https://doi.org/10.1017/9781316584446.

[Gaj96]

Paweł Gajer. “The intersection Dold-Thom theorem”. In: Topology 35.4 (1996), pp. 939–967. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(95)00053-4.

[Gaj98]

Paweł Gajer. “Corrigendum: “The intersection Dold-Thom theorem” [Topology 35 (1996), no. 4, 939–967; MR1404919 (97i:55013)]”. In: Topology 37.2 (1998), pp. 459–460. url: https://doi.org/10.1016/S0040-9383(97)00040-2.

[GM80]

Mark Goresky and Robert MacPherson. “Intersection homology theory”. In: Topology 19.2 (1980), pp. 135–162. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(80)90003-8.

[GM83]

Mark Goresky and Robert MacPherson. “Intersection homology. II”. In: Invent. Math. 72.1 (1983), pp. 77–129. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01389130.

[Hov09]

Mark Hovey. “Intersection homological algebra”. In: New topological contexts for Galois theory and algebraic geometry (BIRS 2008). Vol. 16. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2009, pp. 133–150. url: https://doi.org/10.2140/gtm.2009.16.133.

[Kar04]

Kalle Karu. “Hard Lefschetz theorem for nonrational polytopes”. In: Invent. Math. 157.2 (2004), pp. 419–447. arXiv: math/0112087. url: https://doi.org/10.1007/s00222-004-0358-3.

[Kin85]

Henry C. King. “Topological invariance of intersection homology without sheaves”. In: Topology Appl. 20.2 (1985), pp. 149–160. url: http://dx.doi.org/10.1016/0166-8641(85)90075-6.

[Sar05]

Martintxo Saralegi-Aranguren. “de Rham intersection cohomology for general perversities”. In: Illinois J. Math. 49.3 (2005), pp. 737–758. arXiv: math/0404130. url: http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1258138217.

[Sar94]

Martin Saralegi. “Homological properties of stratified spaces”. In: Illinois J. Math. 38.1 (1994), pp. 47–70. url: http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1255986886.

[Val12]

Guillaume Valette. “\(L^\infty \) cohomology is intersection cohomology”. In: Adv. Math. 231.3-4 (2012), pp. 1818–1842. arXiv: 0912.0713. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2012.07.020.

[Vit14]

Jorge Vitória. “Perverse coherent t-structures through torsion theories”. In: Algebr. Represent. Theory 17.4 (2014), pp. 1181–1206. arXiv: 0911.0343. url: https://doi.org/10.1007/s10468-013-9441-z.