Twisted K-theory の変種や一般化

Twisted \(K\)-theory の equivariant version については, Atiyah と Segal の [AS04] の最後に述べられているものがある。Vasselli の [Vas08] でも少し触れられている。内容は, \(C^*\)-category に関する [Vas07] の解説であるが, 最後の章に twisted equivariant \(K\)-theory の定義がある。

  • twisted equivariant \(K\)-theory

別の構成としては, orbifold の twisted \(K\)-theory [AR03] がある。

そしてこれらを全て含む一般化として, topological groupoid, 更に differentiable stack の twisted \(K\)-theory を考えるというアイデア [TXL04] がある。

  • topological groupoid の twisted \(K\)-theory
  • stack の twisted \(K\)-theory

Topological groupoid の twisted \(K\)-theory として考えるというのは, Freedと Hopkins と Teleman [FHT11b; FHT11a; FHT13] のアイデアなのだろうか。 Bunke ら [BS05] は, Freed と Hopkins と Teleman の結果を smooth stack の中の議論で証明している。

これらのような一般化を考えるときには, \(3\)次元のコホモロジー類ではなく, \(1\)-gerbe あるいは topological groupoid の central extension による twisting を考えるべきである。Orbifold \(K\)-theory の場合は, Adem と Ruan と Zhang の [ARZ] の説明が分かりやすい。

他にも operator algebra 的に定義し, twisting を self-absorbing \(C^*\)-algebra により与える, というアイデアもある。Penning の [Pen16] である。

C. Dwyerの [Dwy08] は, Adem と Ruan の構成を Lück と Oliver の結果 [LO01] を用いて有限とは限らない群に拡張したものである。 更に Barcenas, Espinoza, Joachim, Uribe の [Bar+a] もある。

  • equivariant twisted \(K\)-theory for proper actions of discrete groups

Barcenas らは [Bar+b] で spectral sequence を構成している。 [BV] では completion theorem が考えられている。

\(K\)-homology も twist できる。 [MS] に解説がある。Baum と Douglas の \(K\)-homology の twisted version は, Wang [Wan] により構成されている。

  • twisted \(K\)-homology

Berwick-Evans は [Ber] で equivariant かつ differential な version が導入されている。有限群の作用を持つ多様体の場合であるが。構成は Stolz と Teichner の topological field theory を用いた \(K\)-theory の構成 [Hoh+11] に基づいたものである。

  • twisted equivariant differential \(K\)-theory

Sati と Schreiber [2206.13568; SS] により物理への応用が考えられているが, 名前が長いので, 彼等は TED \(K\)-theory と省略している。

Bivariant 版は, Mahanta [Mah14] により考えられている。

Motivic version もある。Spitzweck と Østvær の [SØ12] である。

代数幾何学での algebraic \(K\)-theory については, Toën の [Toë12] がある。derived Azumaya algebra が導入され, それを用いて scheme の twisted \(K\)-theory の localization theorem が示されている。

References

[AR03]

Alejandro Adem and Yongbin Ruan. “Twisted orbifold \(K\)-theory”. In: Comm. Math. Phys. 237.3 (2003), pp. 533–556.

[ARZ]

Alejandro Adem, Yongbin Ruan, and Bin Zhang. A Stringy Product on Twisted Orbifold \(K\)-theory. arXiv: math/0605534.

[AS04]

Michael Atiyah and Graeme Segal. “Twisted \(K\)-theory”. In: Ukr. Mat. Visn. 1.3 (2004), pp. 287–330. arXiv: math/0407054.

[Bar+a]

Noe Barcenas, Jesus Espinoza, Michael Joachim, and Bernardo Uribe. Universal twist in equivariant \(K\)-theory for proper and discrete actions. arXiv: 1202.1880.

[Bar+b]

Noe Barcenas, Jesus Espinoza, Bernardo Uribe, and Mario Velasquez. Segal’s Spectral Sequence in Twisted Equivariant \(K\)-theory for proper and discrete actions. arXiv: 1307.1003.

[Ber]

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[BS05]

U. Bunke and I. Schröder. “Twisted \(K\)-theory and TQFT”. In: Mathematisches Institut, Georg-August-Universität Göttingen: Seminars Winter Term 2004/2005. Universitätsdrucke Göttingen, Göttingen, 2005, pp. 33–80. arXiv: math/0504458.

[BV]

Noe Barcenas and Mario Velasquez. The Completion Theorem in twisted equivariant \(K\)-Theory for proper and discrete actions. arXiv: 1408.2404.

[Dwy08]

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[FHT11a]

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[FHT11b]

Daniel S. Freed, Michael J. Hopkins, and Constantin Teleman. “Loop groups and twisted \(K\)-theory III”. In: Ann. of Math. (2) 174.2 (2011), pp. 947–1007. arXiv: math/0312155v3. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2011.174.2.5.

[FHT13]

Daniel S. Freed, Michael J. Hopkins, and Constantin Teleman. “Loop groups and twisted \(K\)-theory II”. In: J. Amer. Math. Soc. 26.3 (2013), pp. 595–644. arXiv: math / 0511232. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-2013-00761-4.

[Hoh+11]

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[LO01]

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[Mah14]

Snigdhayan Mahanta. “Twisted \(K\)-theory, \(K\)-homology, and bivariant Chern-Connes type character of some infinite dimensional spaces”. In: Kyoto J. Math. 54.3 (2014), pp. 597–640. arXiv: 1104.4835. url: http://dx.doi.org/10.1215/21562261-2693460.

[MS]

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[Pen16]

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[SØ12]

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[SS]

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[Toë12]

Bertrand Toën. “Derived Azumaya algebras and generators for twisted derived categories”. In: Invent. Math. 189.3 (2012), pp. 581–652. arXiv: 1002.2599. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-011-0372-1.

[TXL04]

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[Vas07]

Ezio Vasselli. “Bundles of \(C^{\ast }\)-categories”. In: J. Funct. Anal. 247.2 (2007), pp. 351–377. arXiv: math/0510594. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jfa.2007.03.016.

[Vas08]

Ezio Vasselli. “Group bundle duality, invariants for certain \(C^{*}\)-algebras, and twisted equivariant \(K\)-theory”. In: \(C^{\ast }\)-algebras and elliptic theory II. Trends Math. Birkhäuser, Basel, 2008, pp. 281–295. arXiv: math/0605114. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-7643-8604-7_15.

[Wan]

Bai-Ling Wang. Geometric cycles, index theory and twisted K-homology. arXiv: 0710.1625.