Twisted \(K\)-theory の equivariant version については, Atiyah と Segal の [AS04]
の最後に述べられているものがある。Vasselli の [Vas08] でも少し触れられている。内容は, \(C^*\)-category に関する [Vas07]
の解説であるが, 最後の章に twisted equivariant \(K\)-theory の定義がある。
- twisted equivariant \(K\)-theory
別の構成としては, orbifold の twisted \(K\)-theory [AR03] がある。
そしてこれらを全て含む一般化として, topological groupoid, 更に differentiable stack の twisted
\(K\)-theory を考えるというアイデア [TXL04] がある。
- topological groupoid の twisted \(K\)-theory
- stack の twisted \(K\)-theory
Topological groupoid の twisted \(K\)-theory として考えるというのは, Freedと Hopkins と Teleman
[FHT11b; FHT11a; FHT13] のアイデアなのだろうか。 Bunke ら [BS05] は, Freed と Hopkins と
Teleman の結果を smooth stack の中の議論で証明している。
これらのような一般化を考えるときには, \(3\)次元のコホモロジー類ではなく, \(1\)-gerbe あるいは topological groupoid の
central extension による twisting を考えるべきである。Orbifold \(K\)-theory の場合は, Adem と Ruan と
Zhang の [ARZ] の説明が分かりやすい。
他にも operator algebra 的に定義し, twisting を self-absorbing \(C^*\)-algebra により与える,
というアイデアもある。Penning の [Pen16] である。
C. Dwyerの [Dwy08] は, Adem と Ruan の構成を Lück と Oliver の結果 [LO01]
を用いて有限とは限らない群に拡張したものである。 更に Barcenas, Espinoza, Joachim, Uribe の [Bar+a]
もある。
- equivariant twisted \(K\)-theory for proper actions of discrete groups
Barcenas らは [Bar+b] で spectral sequence を構成している。 [BV] では completion theorem
が考えられている。
\(K\)-homology も twist できる。 [MS] に解説がある。Baum と Douglas の \(K\)-homology の twisted
version は, Wang [Wan] により構成されている。
Berwick-Evans は [Ber] で equivariant かつ differential な version
が導入されている。有限群の作用を持つ多様体の場合であるが。構成は Stolz と Teichner の topological field theory
を用いた \(K\)-theory の構成 [Hoh+11] に基づいたものである。
- twisted equivariant differential \(K\)-theory
Sati と Schreiber [2206.13568; SS] により物理への応用が考えられているが, 名前が長いので, 彼等は TED
\(K\)-theory と省略している。
Bivariant 版は, Mahanta [Mah14] により考えられている。
Motivic version もある。Spitzweck と Østvær の [SØ12] である。
代数幾何学での algebraic \(K\)-theory については, Toën の [Toë12] がある。derived Azumaya algebra
が導入され, それを用いて scheme の twisted \(K\)-theory の localization theorem が示されている。
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