小圏のホモトピー論

小圏を幾何学的対象とみなし, その性質を調べることは重要である。基本的なのは, 小圏の圏から simplicial set の圏への nerve functor, そして, それの幾何学的実現を行った分類空間を取る functor である。

ある monoidal category \(\bm{V}\) の category object になっている小圏 (つまり \(\bm{V}\) での internal category) の場合には, nerve は \(\bm{V}\) における simplicial object になる。この意味で, nerve の方 が基本的な functor である。

いくつかの \(\bm{V}\) については, 「幾何学的実現」をとり分類空間を構成することもできる。例えば, \(\bm{V}\) が位相空間の圏の場合である。

また, \(C\) が \(\bm{V}\) で enrichされた小圏の場合は, その nerve \(N_{\bullet }C\) は \(\bm{V}\) の simplicial object にはならない。 \(N_{0}C\) は単なる集合で, \(\bm{V}\) の object ではないからである。 そのような場合でも, nerve や幾何学的実現に対応するものを定義できるときもある。 例えば, \(\bm{V}\) が小圏の圏の場合, \(\bm{V}\) で enrich された category とは, strict \(2\)-category であるが, それに対しては, nerve の構成にいくつかの方法がある。

分類空間あるいは nerve をとることにより, 小圏はホモトピー論の手法を用いて調べることができるようになる。 その基本的な性質としては, Quillenの [Qui73] をみるとよい。他には, Weibel の本 [Wei13] の第IV章が便利である。各種小圏について, この分類空間を取って位相空間として考える手法は重要である。

Poset については, 組み合せ論的な視点から詳しく研究されているので, その結果を小圏に一般化するのは興味深い問題である。 その一つの例として, Leinster による小圏のEuler characteristic の定義がある。

Euler標数と言えばホモロジーであるが, small category の(コ)ホモロジーも様々な場面で登場する。

より現代的な言葉を用いると, 小圏のホモトピー論とは, 小圏の圏に モデル圏の構造を入れることである。 そして nerve をとる functor が weak equivalence を保つようにできるとよい。 そのようなモデル構造としては, Thomason が [Tho80] で定義したものがある。 一部不備があり, Cisinski が [Cis99] で修正している。

  • Thomason の model structure

Gagna の [Gag] によると, nerve functor が小圏の category の homotopy category と simplicial set の category の homotopy の間の圏同値であることは, Thomason よりずっと前に, Illusie の thesis [Ill71; Ill72] に書かれているらしい。ただし, Quillen よるそうであるが。 それを model category の言葉を用いて精密化したのが, Thomason の定理であると解釈すべきだろう。

もっとも, nerve functor には色々欠点もある。例えば, Fritsch と Latch により [FL79; FL81] で指摘されているように, nerve functor の left adjoint \(c\), つまり simplicial set を “category化” する functor は nerve functor の inverse になっていない。

  • \(n\ge 2\) に対し \(N(c(\Delta ^n/\partial \Delta ^n)) \cong \Delta ^0\)
  • \(n\ge 2\) に対し \(N(c(\Sd ((\Delta ^n/\partial \Delta ^n))) \cong \Delta ^1\)

そのために, Lee [Lee72] や Latch [Lat77] などの \(c\) の代わりとなる functor を構成する試みがある。Latch と Thomason と Wilson は, [LTW79] で Latch の構成した functor \(\Gamma \) の right adjoint と nerve functor \(N\) の比較をし, 各 object で weak equivalence になることを示している。

一方, 小圏に対しては simplicial set の細分に対応する操作もできる。

小圏の圏には, もう一つ, 圏の同値を weak equivalence とするモデル構造も定義できる。Joyal と Tierney により, [JT91] で定義された。

  • Joyal と Tierney の model structure (folk model structure)

他にも小圏のホモトピー論の試みとしては, Evrard [Evr75] や Hoff [Hof75] のものもある。Evrard は morphism を道と考え, それによりホモトピーや path space や loop space の類似を構成していて, Thomason の model structure より直感的に分かりやすい。Minian により [Min02] などで詳しく調べられている。Minian は, このホモトピーにより小圏の圏が \(\Lambda \)-cofibration category という構造を持ち, ホモトピー圏が構成できることを示している。

  • 小圏の圏の \(\Lambda \)-cofibration structure

小圏より基本的な構造である quiver の圏のモデル構造については, Bisson と Tsemo により [BT] で構成されたものがある。その元になっているのは, Enochs と Herzog の [EH99] のようであるが。

Kuber と Wilding [KW] は, nerve や分類空間を取らずに, category theory の言葉だけで小圏のホモトピー論を構築することを考えている。

高次の小圏のホモトピー論も色々考えられている。 Strict \(2\)-category の Thomason 流のホモトピー論は Chiche の [Chib; Chia] や Ara の [Ara] で調べられている。

Strict \(n\)-category については, Ara と Maltsiniotis の一連の研究 [AMb; AMa] や Gagna の [Gag] がある。 Strict \(\omega \)-category については, Steiner の augmented directed complex を用いたアプローチ [Ste04]がある。

References

[AMa]

Dimitri Ara and Georges Maltsiniotis. The homotopy type of the \(\infty \)-category associated to a simplicial complex. arXiv: 1503.02720.

[AMb]

Dimitri Ara and Georges Maltsiniotis. Towards a Thomason model structure on the category of strict \(n\)-categories. arXiv: 1305.5086.

[Ara]

Dimitri Ara. Model category structures à la Thomason on 2-Cat. arXiv: 1607.03644.

[BT]

Terrence Bisson and Aristide Tsemo. A homotopical algebra of graphs related to zeta series. arXiv: 0802.3859.

[Chia]

Jonathan Chiche. La théorie de l’homotopie des 2-catégories. arXiv: 1411.6936.

[Chib]

Jonathan Chiche. Théories homotopiques des 2-catégories. arXiv: 1309.0191.

[Cis99]

Denis-Charles Cisinski. “La classe des morphismes de Dwyer n’est pas stable par retractes”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle Catég. 40.3 (1999), pp. 227–231.

[EH99]

Edgar E. Enochs and Ivo Herzog. “A homotopy of quiver morphisms with applications to representations”. In: Canad. J. Math. 51.2 (1999), pp. 294–308. url: http://dx.doi.org/10.4153/CJM-1999-015-0.

[Evr75]

Marcel Evrard. “Fibrations de petites catégories”. In: Bull. Soc. Math. France 103.3 (1975), pp. 241–265.

[FL79]

Rudolf Fritsch and Dana May Latch. “Homotopy inverses for nerve”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 1.1 (1979), pp. 258–262. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-1979-14579-8.

[FL81]

Rudolf Fritsch and Dana May Latch. “Homotopy inverses for nerve”. In: Math. Z. 177.2 (1981), pp. 147–179. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01214196.

[Gag]

Andrea Gagna. Strict \(n\)-categories and augmented directed complexes model homotopy types. arXiv: 1612.04450.

[Hof75]

Georges Hoff. “L’homotopie des catégories”. In: Esquisses mathématiques, No. 23, Exp. No. 2. Fac. Sci., Univ. Paris VII, Paris, 1975, pp. i+33.

[Ill71]

Luc Illusie. Complexe cotangent et déformations. I. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 239. Berlin: Springer-Verlag, 1971, pp. xv+355.

[Ill72]

Luc Illusie. Complexe cotangent et déformations. II. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 283. Berlin: Springer-Verlag, 1972, pp. vii+304.

[JT91]

André Joyal and Myles Tierney. “Strong stacks and classifying spaces”. In: Category theory (Como, 1990). Vol. 1488. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1991, pp. 213–236. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0084222.

[KW]

Amit Kuber and David Wilding. Taxotopy Theory of Posets I: van Kampen Theorems. arXiv: 1510.08921.

[Lat77]

Dana May Latch. “The uniqueness of homology for the category of small categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 9.2 (1976/77), pp. 221–237. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(77)90068-8.

[Lee72]

Ming Jung Lee. “Homotopy for functors”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 36 (1972), 571–577, erratum, ibid. 42 (1973), 648–650.

[LTW79]

Dana May Latch, Robert W. Thomason, and W. Stephen Wilson. “Simplicial sets from categories”. In: Math. Z. 164.3 (1979), pp. 195–214. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01182267.

[Min02]

Elias Gabriel Minian. “\(\mathcal{C}at\) as a \(\Lambda \)-cofibration category”. In: J. Pure Appl. Algebra 167.2-3 (2002), pp. 301–314. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(01)00034-2.

[Qui73]

Daniel Quillen. “Higher algebraic \(K\)-theory. I”. In: Algebraic \(K\)-theory, I: Higher \(K\)-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972). Berlin: Springer, 1973, 85–147. Lecture Notes in Math., Vol. 341.

[Ste04]

Richard Steiner. “Omega-categories and chain complexes”. In: Homology Homotopy Appl. 6.1 (2004), pp. 175–200. arXiv: math/0403237. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1139839551.

[Tho80]

R. W. Thomason. “Cat as a closed model category”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle 21.3 (1980), pp. 305–324.

[Wei13]

Charles A. Weibel. The \(K\)-book. Vol. 145. Graduate Studies in Mathematics. An introduction to algebraic \(K\)-theory. Providence, RI: American Mathematical Society, 2013, pp. xii+618. isbn: 978-0-8218-9132-2.