Spectral Triples

\(\mathrm{Spin}_c\) 多様体上に spinor の成す Hilbert 空間と, その上の Dirac operator が定義できるように, spectral triple は Hilbert 空間とその上の self-adjoint operator を持つ, つまり, Riemann 計量を持つ \(\mathrm{Spin}_c\) (\(\mathrm{Spin}\)) 多様体の非可換化である。

Connes と Moscovici の [CM08] によると, 非可換幾何学の basic paradigm とは, spectral triple の paradigm であるらしい。

文献としては, Connes の [Con94] や Connes と Moscovici の [CM95] を挙げるべきなのだろうか。

Zhang は, [Zha] で多様体から spectral triple を作る別の方法を考えている。 Twisted \(K\)-theory とうまくあうようである。 そして, \(\mathrm{Spin}_c\) 多様体の場合は, 通常の spectral triple と Morita 同値になるようである。

  • spectral triple の Morita 同値

Spectral triple の Morita 同値は, この Zhang の論文で導入されたものなのだろうか。

どのような spectral triple が多様体に由来するかというのは, 自然な問題である。これについては, Connes が [Con96] で5つの条件を考えている。この問題については, Connes の [Con13] で解決されている。

  • Connes の reconstruction theorem

[Da̧b06] で \(2\) 次元と \(3\) 次元の quantum sphere の場合について調べられている。

Ćaćić [Ćać12]は, almost commutative spectral triple の reconstruction theorem を証明している。

奇数次元の球面 \(S^{2n-1}\) には \(\mathrm{SU}(n)\) が作用することから, \(S^{2n-1}\) の非可換版には, その quantum deformation \(\mathrm{SU}_q(n)\) が作用していると話がうまく合う。実際, そのような spectral triple は, Chakraborty と Pal により [CPb; CPa] で構成されている。

D’Andre [DAn] は, twisted spectral tripe を用いて quantum homogeneous space を定義することを考えている。その際に, Hopf bundle \(S^7 \to S^4\) を例として考察している。

他にも量子群の作用を考えている人は多い。

Spectral triple の間の morphism, つまり spectral triple の圏の構成については, [BCL06] という試みがある。Spectral triple の基本群を定義するためには, 代数幾何学の真似をして, 被覆空間を考えるのが良さそうである。Ivankov と Ivankov の [II] は, そのアイデアで spectral triple の基本群を定義している。その元になる spectral triple の被覆については, Connes と Dubois-Violette により ramified covering の概念が [CD08] で定義されている。Ivankov と Ivankov は, unramified finite covering の概念を定義することにより, 基本群を定義している。

グラフやその一般化の \(C^*\)-algebra からも spectral triple ができる。Pask ら [PR06; PRS09] による。

Sierpinski gasket などの fractal からも spectral triple ができるので, noncommutative fractal geometry が考えられる。 Christensen と Ivanと Schrohe の [CIS] など。

References

[BCL06]

Paolo Bertozzini, Roberto Conti, and Wicharn Lewkeeratiyutkul. “A category of spectral triples and discrete groups with length function”. In: Osaka J. Math. 43.2 (2006), pp. 327–350. arXiv: math/0502583. url: http://projecteuclid.org/euclid.ojm/1152203943.

[Ćać12]

Branimir Ćaćić. “A reconstruction theorem for almost-commutative spectral triples”. In: Lett. Math. Phys. 100.2 (2012), pp. 181–202. arXiv: 1101.5908. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11005-011-0534-5.

[CD08]

Alain Connes and Michel Dubois-Violette. “Noncommutative finite dimensional manifolds. II. Moduli space and structure of noncommutative 3-spheres”. In: Comm. Math. Phys. 281.1 (2008), pp. 23–127. arXiv: math/0511337. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-008-0472-y.

[CIS]

Erik Christensen, Cristina Ivan, and Elmar Schrohe. Spectral triples and the geometry of fractals. arXiv: 1002.3081.

[CM08]

Alain Connes and Henri Moscovici. “Type III and spectral triples”. In: Traces in number theory, geometry and quantum fields. Aspects Math., E38. Friedr. Vieweg, Wiesbaden, 2008, pp. 57–71. arXiv: math/0609703.

[CM95]

A. Connes and H. Moscovici. “The local index formula in noncommutative geometry”. In: Geom. Funct. Anal. 5.2 (1995), pp. 174–243. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01895667.

[Con13]

Alain Connes. “On the spectral characterization of manifolds”. In: J. Noncommut. Geom. 7.1 (2013), pp. 1–82. arXiv: 0810.2088. url: https://doi.org/10.4171/JNCG/108.

[Con94]

Alain Connes. Noncommutative geometry. San Diego, CA: Academic Press Inc., 1994, pp. xiv+661. isbn: 0-12-185860-X.

[Con96]

Alain Connes. “Gravity coupled with matter and the foundation of non-commutative geometry”. In: Comm. Math. Phys. 182.1 (1996), pp. 155–176. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104288023.

[CPa]

Partha Sarathi Chakraborty and Arupkumar Pal. Characterization of \(\SU _q(\ell +1)\)-equivariant spectral triples for the odd dimensional quantum spheres. arXiv: math/0701694.

[CPb]

Partha Sarathi Chakraborty and Arupkumar Pal. Equivariant spectral triples on the quantum \(\SU (2)\) group. arXiv: math/0201004.

[Da̧b06]

Ludwik Da̧browski. “Geometry of quantum spheres”. In: J. Geom. Phys. 56.1 (2006), pp. 86–107. arXiv: math/0501240. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.geomphys.2005.04.003.

[DAn]

Francesco D’Andrea. Quantum Groups and Twisted Spectral Triples. arXiv: math/0702408.

[II]

Petr R. Ivankov and Nickolay P. Ivankov. The Noncommutative Geometry Generalization of Fundamental Group. arXiv: math/0604508.

[PR06]

David Pask and Adam Rennie. “The noncommutative geometry of graph \(C^*\)-algebras. I. The index theorem”. In: J. Funct. Anal. 233.1 (2006), pp. 92–134. arXiv: math/0508025. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jfa.2005.07.009.

[PRS09]

David Pask, Adam Rennie, and Aidan Sims. “Noncommutative manifolds from graph and \(k\)-graph \(C^*\)-algebras”. In: Comm. Math. Phys. 292.3 (2009), pp. 607–636. arXiv: math/0701527. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-009-0926-x.

[Zha]

Dapeng Zhang. Projective Dirac Operators, Twisted K-Theory and Local Index Formula. arXiv: 1008.0707.