Constructions of Small Categories

Small category を, 群のように生成元と関係式で表すとき, 生成元になるのは quiver である。

• free category or path category generated by a quiver

既存の small category から新しい small category を構成する方法も色々ある。まず small category の category は complete かつ cocomplete である。

• product of small categories
• coproduct of small categories
• limit of diagram of small categories
• colimit of diagram of small categories

Small category から small categoy の category への functor, つまり small category で index された small category の図式が与えられたとき, それらを合せて一つの small category にすることができる。 Grothendieck construction という。

• Grothendieck construction

Functor から small category を作る方法として comma category も重要である。

• comma category

圏論的構成としては, span や cospan も良く使う。

• span and cospan

Small category の category は \(2\)-category の構造を持つ。つまり, \(2\)つの small category の間の functor 全体は category になる。

• functor category

関手の成す圏については「米田の補題」という有名な事実がある。

• Yoneda Lemma

ある small category \(C\) の morphism を object とする category \(\mathrm {Mor}(C)\) を構成することもできる。

• arrow category or category of morphisms

Small category は, 群や monoid の 一般化なので, 群や monoid に関する構成を一般化することが考えられている。 例えば, 中心を small category に一般化することもできる。

• category の center

一方, small category は poset の一般化なので, poset に対する操作を small category に拡張することも考えられている。 例えば, ordinal sum の一般化として join という操作がある。Lurie の本 [Lur09] の §1.2.8 にある。

• join of categories

Join と言って思い出すのは, Milnor の 分類空間の構成などで使われた空間の join であるが, 実際 nerve を取る functor により small category の category は simplicial set の category に埋め込まれるので, 空間に対する操作の small category での類似も考えられている。例えば, 細分を定義することもできる。

• subdivision of small category

References

[Lur09]

Jacob Lurie. Higher topos theory. Vol. 170. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009, pp. xviii+925. isbn: 978-0-691-14049-0. url: http://dx.doi.org/10.1515/9781400830558.