Subdivision of small categories

小圏simplicial set の間には良い対応があることから, simplicial complex や simplicial set に対する操作の一般化を, 小圏で行なおうとするのは自然なアイデアである。そのようなものの1つに細分がある。

まず基本的なのは, 重心細分である。

  • 小圏の重心細分

del Hoyo [Hoy08] に書かれているように, \(2\)回重心細分すると, どんな圏も poset になる。 より正確には, 1回重心細分すると acyclic category になり, acyclic category の重心細分は poset になる。 小圏の重心細分については, Peter May の note が ここから download できるが, そこでもこの事実は「初めて見たときには mind blowing」 なこととして書いてある。

小圏の細分には, 他にも Segal により [Seg73] で simplicial space に対し使われている edgewise subdivision に対応するものがある。

References

[Hoy08]

Matias L. del Hoyo. “On the subdivision of small categories”. In: Topology Appl. 155.11 (2008), pp. 1189–1200. arXiv: 0707.1718. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2008.02.006.

[Seg73]

Graeme Segal. “Configuration-spaces and iterated loop-spaces”. In: Invent. Math. 21 (1973), pp. 213–221. url: https://doi.org/10.1007/BF01390197.