小圏 と simplicial set の間には良い対応があることから, simplicial complex や simplicial set
に対する操作の一般化を, 小圏で行なおうとするのは自然なアイデアである。そのようなものの1つに細分がある。
まず基本的なのは, 重心細分である。
del Hoyo [Hoy08] に書かれているように, \(2\)回重心細分すると, どんな圏も poset になる。 より正確には, 1回重心細分すると
acyclic category になり, acyclic category の重心細分は poset になる。 小圏の重心細分については, Peter
May の note が ここから download できるが, そこでもこの事実は「初めて見たときには mind blowing」
なこととして書いてある。
小圏の細分には, 他にも Segal により [Seg73] で simplicial space に対し使われている edgewise
subdivision に対応するものがある。
References
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[Hoy08]
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Matias L. del Hoyo. “On the subdivision of small categories”. In:
Topology Appl. 155.11 (2008), pp. 1189–1200. arXiv: 0707.1718. url:
http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2008.02.006.
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[Seg73]
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Graeme Segal. “Configuration-spaces and
iterated loop-spaces”. In: Invent. Math. 21 (1973), pp. 213–221. url:
https://doi.org/10.1007/BF01390197.
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