層と関連した概念

代数幾何学代数解析学など, 幾何学的対象を代数的に扱う際には層は必要不可欠な概念である。 代数的トポロジーでは, 層の代わりに fibration などの概念を導入し, 空間レベルで代数的な操作を行なえるようにしてきた。

代数的トポロジーでも層の概念の応用はある。例えば, Mark Johnson による多重ループ 空間の topological category 上の presheaf としての記述など。 また Lurie の [Lur09] の§7.1 や Shulman の [Shu08] にあるように, 位相空間 \(X\) 上の parametrized space を考え ることと, \(X\) 上の層を考えることは密接に関係している。

Grothendieck と Verdier に従って, 層を扱う際には, derived category を考えるのが普通である。最近では simplicial (pre)sheaf の model category も使われているが。

群の作用を持つ空間上では, equivariant sheaf を考え, その derived category を考えたくなる。

  • equivariant sheaf

Bernstein と Lunts [BL94] によると, 離散群でない場合は, 単純に equivariant sheaf の成す Abelian category の derived category を取るのではうまくいかないようである。彼等はその代わりとなる triangulated category を構成している。

また, 層に関連した toposgerbestacktorsor などの概念も徐々に一般的になってきた。 特に数理物理からの要請によるところが大きい。 また, elliptic cohomology の構成を, 高次のベクトル束を用いて行なうというアイデアもあるから, 高次の層もこれから一般的になっていくだろう。 Carchedi の [Car]にあるように, stack 上の stack なども考えられている。

これらの概念の入門としては, Moerdijk の [Moe] が分りやすい。

逆に, より具体的な方向としては, 組み合せ論で用いられる層がある。

作用素環の世界では, 従来 field of \(C^*\)-algebras などのような, bundle や sheaf に近いものが使われてきたが, ちゃんと \(C^*\)-algebra の sheaf を扱った文献も出てきた。 Ara と Mathieu の [AM10] や Roe と Siegel の [RS] など。

  • sheaf of \(C^*\)-algebras

層の双対概念として “cosheaf” を考えることもできる。 単に形式的に定義されるだけでなく, 最近では実際の問題に使われるようにもなってきた。

Flori と Fritz [FF]は sheaf ではない presheaf を扱うために gleaf の概念を導入した。Presheaf に貼り合せ (gluing) の情報を付加したものである。Sheaf と cosheaf を組み合せた bisheaf という概念もある。 Nanda と Patel の [NP] など。

  • gleaf
  • bisheaf

References

[AM10]

Pere Ara and Martin Mathieu. “Sheaves of \(C^*\)-algebras”. In: Math. Nachr. 283.1 (2010), pp. 21–39. url: http://dx.doi.org/10.1002/mana.200910097.

[BL94]

Joseph Bernstein and Valery Lunts. Equivariant sheaves and functors. Vol. 1578. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1994, pp. iv+139. isbn: 3-540-58071-9.

[Car]

David Carchedi. Sheaf Theory for Étale Geometric Stacks. arXiv: 1011.6070.

[FF]

Cecilia Flori and Tobias Fritz. Compositories and Gleaves. arXiv: 1308.6548.

[Lur09]

Jacob Lurie. Higher topos theory. Vol. 170. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009, pp. xviii+925. isbn: 978-0-691-14049-0. url: http://dx.doi.org/10.1515/9781400830558.

[Moe]

Ieke Moerdijk. Introduction to the language of stacks and gerbes. arXiv: math/0212266.

[NP]

Vidit Nanda and Amit Patel. Canonical stratifications along bisheaves. arXiv: 1812.05593.

[RS]

John Roe and Paul Siegel. Sheaf theory and Paschke duality. arXiv: 1210.6420.

[Shu08]

Michael A. Shulman. “Parametrized spaces model locally constant homotopy sheaves”. In: Topology Appl. 155.5 (2008), pp. 412–432. arXiv: 0706.2874. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2007.11.001.