高次のファイバー束

ファイバー束の概念の高次化が, 様々な場面で必要になってきている。 良く知られたもの, そしてかなり古くから研究されているものとして gerbe がある。これは line bundle の高次化である。

• gerbe

構造群を Lie 2-group にしたものも考えられている。 Nikolaus と Waldrof の [NW13] を見るとよい。 Ginot と Stiénon [GS15] は principal \(2\)-group bundle と groupoid extension との関係を調べている。

また, 高次のベクトル束は, elliptic cohomology の幾何学的構成のための候補の一つである。 ベクトル束だけでなく, ファイバー束の高次版を考えている人もいる。 例えば [Woc11] など。

Bouknegt らの [Bou+02] では, bundle gerbe module という概念が定義され, それを用いて \(K\)-theory の類似が定義されている。

• bundle gerbe module
• \(2\)-vector bundle

ある空間上の \(2\)-vector bundle の成す bicategory の構成については, Nikolaus と Schweigert の [NS11] がある。

\(2\)-vector bundle を 楕円コホモロジーの構成のために用いる試みについては, Baas と Dundas と Rognes の [BDR04] がある。 その orientation や connective structure について, Kragh が [Kra13] で考えている。

• oriented \(2\)-vector bundle

楕円コホモロジーの実現のためには, conformal field theory を用いるという Segalのアイデアもあるので, conformal field theory と \(2\)-vector bundle の関係を知る必要がある。これについては, Segal が [Seg07] の最後で少し書いているが, それを詳しく調べたものとして, Amoreo と Devoto の [AD] がある。 Conformal field theory ではなく, 2次元の topological quantum field theory との関係であるが。

2次元の topological quantum field theory は, 可換な Frobenius algebra と同等なので, Frobenius algebra の bundle のようなものから, 楕円コホモロジーが作れるとうれしいわけであるが, Moore と Segal [MS] によると, そのようなものは Frobenius manifold と同じらしい。そして Amoreo と Devoto [AD] は, semisimple Frobenius manifold から maximal Cardy fibration を取ることにより Baas-Dundas-Rognes の \(2\)-vector bundle ができることを示している。

高次の vector bundle 上で, gauge theory を行なおうという試みを Baez と Schreiber が [BS07] で行なっている。

直接 elliptic cohomology と関係あるかどうか分からないが, ファイバー束の categorification である \(2\)-bundle という概念を定義することも試みられている。[Bar] などである。そこに はprincipal \(2\)-bundle を分類空間へのホモトピー集合で分類することが目標である, と書いてある。

別の方向での高次化としては, \((\infty ,1)\)-category を用いて higher coherency condition を記述した bundle がある。 Bunk の [Bun] では \(\infty \)-bundle と呼ばれている。

• \(\infty \)-bundle

References

[AD]

Anibal Amoreo and Jorge A. Devoto. 2-vector bundles, D-branes and Frobenius Manifolds. arXiv: 1507.08485.

[Bar]

Toby Bartels. Higher gauge theory I: 2-Bundles. arXiv: math / 0410328.

[BDR04]

Nils A. Baas, Bjørn Ian Dundas, and John Rognes. “Two-vector bundles and forms of elliptic cohomology”. In: Topology, geometry and quantum field theory. Vol. 308. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004, pp. 18–45. arXiv: math / 0306027. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511526398.005.

[Bou+02]

Peter Bouwknegt, Alan L. Carey, Varghese Mathai, Michael K. Murray, and Danny Stevenson. “Twisted \(K\)-theory and \(K\)-theory of bundle gerbes”. In: Comm. Math. Phys. 228.1 (2002), pp. 17–45. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002200200646.

[BS07]

John C. Baez and Urs Schreiber. “Higher gauge theory”. In: Categories in algebra, geometry and mathematical physics. Vol. 431. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 7–30. arXiv: math/0511710.

[Bun]

Severin Bunk. \(\infty \)-Bundles. arXiv: 2308.04196.

[GS15]

Grégory Ginot and Mathieu Stiénon. “\(G\)-gerbes, principal 2-group bundles and characteristic classes”. In: J. Symplectic Geom. 13.4 (2015), pp. 1001–1047. arXiv: 0801.1238. url: https://doi.org/10.4310/JSG.2015.v13.n4.a6.

[Kra13]

Thomas Kragh. “Orientations on 2-vector bundles and determinant gerbes”. In: Math. Scand. 113.1 (2013), pp. 63–82. arXiv: 0910. 0131. url: https://doi.org/10.7146/math.scand.a-15482.

[MS]

Gregory W. Moore and Graeme Segal. D-branes and K-theory in 2D topological field theory. arXiv: hep-th/0609042.

[NS11]

Thomas Nikolaus and Christoph Schweigert. “Equivariance in higher geometry”. In: Adv. Math. 226.4 (2011), pp. 3367–3408. arXiv: 1004.4558. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.10.016.

[NW13]

Thomas Nikolaus and Konrad Waldorf. “Four equivalent versions of nonabelian gerbes”. In: Pacific J. Math. 264.2 (2013), pp. 355–419. arXiv: 1103 . 4815. url: https://doi.org/10.2140/pjm.2013.264.355.

[Seg07]

Graeme Segal. “What is an elliptic object?” In: Elliptic cohomology. Vol. 342. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2007, pp. 306–317. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511721489.016.

[Woc11]

Christoph Wockel. “Principal 2-bundles and their gauge 2-groups”. In: Forum Math. 23.3 (2011), pp. 565–610. arXiv: 0803.3692. url: http://dx.doi.org/10.1515/FORM.2011.020.