有理ホモトピー論

非安定ホモトピー論における \(v_n\) 周期的現象の中で, \(v_0\) 周期的な情報については, Quillen [Qui69] や Sullivan [Sul77] の仕事により, 有理ホモトピー論として完成された理論になっている。解説も多いし, 教科書も出版されている。例えば [FHT01] などである。Kathryn Hess の [Hes07] という解説もある。 他には, Menichi の [Men] や Félix と Halperin の [FH] などの解説がある。

\(v_0\) 周期的情報は, 一連の \(v_n\) 周期的情報の最初の最も簡単な場合と考えることができる。しかしながら, \(n\ge 1\) の \(v_n\) 周期性と比べると非常に単純であり, \(n\ge 1\) の場合のヒントにするのは難しいように思える。

もっとも有理ホモトピー論自体は, 幾何学的な応用などもあり, 重要な分野である。また \(v_0\)-torsion 部分との関連も, John Moore により予想されている。 Felix と Halperin と Thomas [FHT82] により, rational homology が各次元で有限なCW複体は elliptic space と hyperbolic space の2種類に分類できることが知られているが, John Moore の予想は, elliptic space は \(v_0\)-exponent を持つというものである。

また有理ホモトピー型の完全に代数的なモデルがあることも興味深い。

有理ホモトピー型のモデルには, Sullivan [Sul77] による differential graded commutative algebra を用いたモデルと, Quillen [Qui69] による differential graded Lie algebra を用いたモデルがある。それぞれ(コ)ホモロジーが \(H^*(X;\Q )\) あるいは \(\pi _*(\Omega X)\otimes \Q \) になるものである。

このような, 古典的な有理ホモトピー論では, 幾何学的対象を代数的対象に置き換えて研究する。 より正確には代数的な圏のdifferential graded object に置き換える。そこで, 古典的な方法を学ぶためには, まずそれらの differential graded object に慣れ親しんでおく必要がある。これらは, もちろん一般の体上で考えられる。Greenlees と Hess と Shamir [GHS13] は, 可換環論で用いられている概念を rational homotopy theory に持ち込むことを考えている。

Sinha と Walter は [SWb]で, ある Lie cooperad を用いた Lie coalgebra model を提案している。そして [SWa] でホモトピー群の情報を得る方法を考えている。 Rational equivariant stable homotopy theory への応用を念頭においた Strickland の構成 [Str09] もある。また, Kadeishvili の [Kad09] では, 単連結な空間の ratioinal cohomology は \(C_{\infty }\)-algebra の構造を持ち, それが rational homotopy type を決めていることが示されている。よって \(C_{\infty }\)-algebra としての rational cohomology algebra を rational homotopy type のモデルと考えることもできる。Kadeishvili は, モデルの例として, Halperin と Stasheff [HS79] の filtered commutative dg algebra によるものも挙げている。

Blanc は, rational homotopy type が homotopy Lie algebra \(\pi _{*-1}(X)\) と その上の特定の higher homotopy operation の作用で決まることを [Bla04] で述べている。

他には, \(L_{\infty }\)-algebra を用いた mapping space のモデルを作っている人 [BG] もいる。

Partial minimal model とか partial formality というものを考えている人 [Mac] もいる。

ただし, これらは単連結の場合である。 基本群が自明でない場合への拡張も, いくつかの試みがある。 Gomez-Tato と Halperin と Tanré の [GHT00] や Moriya の [Mora; Morb] などである。Moriya のものは, dg category をモデルとして用いていて, Tabuada や Toën の仕事などとも関連していて興味深い。

連結ではない場合については, Lazarev と Markl が [LM] で Sullivan-type と Quillen-type の2つのモデルを導入している。 Maunder [Mau] は, pseudo-compact curved Lie algebra を用いた unbased disconnected rational homotopy theory を構築している。

Urs Schreiber は \(n\)-Category Café での blog post で, Lie \(n\)-algebra (\(L_{\infty }\)-algebra) の integration という視点を紹介している。

Rational homotopy type の moduli space を考えることもできる [Bla05], らしい。

具体的な空間のできるだけ単純な代数的モデルを構成することも重要であり, 数多くの研究がある。例えば, 多様体configuration space のモデルについては, \(\bbC \) 上の smooth algebraic variety の場合を Kriz [Křı́94] と Totaro [Tot96] が構成している。Lambrecht と Stanley の試み [LS08b; LS08a] もある。

(コ)ホモロジーを intersection homology にしたものもある。 Chataur, Saralegi-Aranguren, Tanré [CST]の perverse algebraic model である。 Chataur と Circi [CC] は孤立特異点を持つ複素代数多様体の場合を調べている。

Stable homotopy theory は rational に考えると graded \(\Q \)-vector space を考えるのと同じであるが, 群の作用を考えると, 面白いことがあるらしい。

Greenlees が中心になって torus などを詳しく調べている。

References

[BG]

Urtzi Buijs and Javier J. Gutiérrez. Homotopy transfer and rational models for mapping spaces. arXiv: 1210.4664.

[Bla04]

David Blanc. “Homotopy operations and rational homotopy type”. In: Categorical decomposition techniques in algebraic topology (Isle of Skye, 2001). Vol. 215. Progr. Math. Basel: Birkhäuser, 2004, pp. 47–75. arXiv: math/0410075.

[Bla05]

David Blanc. “Moduli spaces of homotopy theory”. In: Geometry, spectral theory, groups, and dynamics. Vol. 387. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2005, pp. 37–63. arXiv: math/0410080. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/387/07233.

[CC]

David Chataur and Joana Cirici. Mixed Hodge structures on the intersection homotopy type of complex varieties with isolated singularities. arXiv: 1603.09125.

[CST]

David Chataur, Martintxo Saralegi-Aranguren, and Daniel Tanré. Intersection Cohomology. Simplicial Blow-up and Rational Homotopy. arXiv: 1205.7057.

[FH]

Yves Félix and Steve Halperin. Rational homotopy theory via Sullivan models: a survey. arXiv: 1708.05245.

[FHT01]

Yves Félix, Stephen Halperin, and Jean-Claude Thomas. Rational homotopy theory. Vol. 205. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 2001, pp. xxxiv+535. isbn: 0-387-95068-0. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4613-0105-9.

[FHT82]

Yves Félix, Stephen Halperin, and Jean-Claude Thomas. “The homotopy Lie algebra for finite complexes”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 56 (1982), 179–202 (1983). url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1982__56__179_0.

[GHS13]

J.P.C. Greenlees, K. Hess, and S. Shamir. “Complete intersections in rational homotopy theory”. In: J. Pure Appl. Algebra 217.4 (2013), pp. 636–663. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2012.08.009.

[GHT00]

Antonio Gómez-Tato, Stephen Halperin, and Daniel Tanré. “Rational homotopy theory for non-simply connected spaces”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 352.4 (2000), pp. 1493–1525. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-99-02463-0.

[Hes07]

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[HS79]

Stephen Halperin and James Stasheff. “Obstructions to homotopy equivalences”. In: Adv. in Math. 32.3 (1979), pp. 233–279. url: http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(79)90043-4.

[Kad09]

Tornike Kadeishvili. “Cohomology \(C_{\infty }\)-algebra and rational homotopy type”. In: Algebraic topology—old and new. Vol. 85. Banach Center Publ. Polish Acad. Sci. Inst. Math., Warsaw, 2009, pp. 225–240. arXiv: 0811.1655. url: http://dx.doi.org/10.4064/bc85-0-16.

[Křı́94]

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[LM]

Andrey Lazarev and Martin Markl. Disconnected rational homotopy theory. arXiv: 1305.1037.

[LS08a]

Pascal Lambrechts and Don Stanley. “A remarkable DGmodule model for configuration spaces”. In: Algebr. Geom. Topol. 8.2 (2008), pp. 1191–1222. arXiv: 0707.2350. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2008.8.1191.

[LS08b]

Pascal Lambrechts and Don Stanley. “Poincaré duality and commutative differential graded algebras”. In: Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 41.4 (2008), pp. 495–509. arXiv: math/0701309.

[Mac]

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[Mau]

James Maunder. Unbased rational homotopy theory: a Lie algebra approach. arXiv: 1511.07669.

[Men]

Luc Menichi. Rational homotopy – Sullivan models. arXiv: 1308.6685.

[Mora]

Syunji Moriya. Rational homotopy theory and differential graded category. arXiv: 0810.0808.

[Morb]

Syunji Moriya. The de Rham homotopy theory and differential graded category. arXiv: 0912.4844.

[Qui69]

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[Str09]

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[Sul77]

Dennis Sullivan. “Infinitesimal computations in topology”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 47 (1977), 269–331 (1978).

[SWa]

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[SWb]

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