有理ホモトピー論での Quillen モデル

有理ホモトピー論は, 空間を代数的モデルを用いて扱うことができることに特徴がある。 Differential graded (dg) algebra を用いた Sullivan のモデルが有名であるが, Quillen [Qui69] による dg Lie algebra を用いたものもある。

• Differential graded Lie algebra \((L,d)\) に対し, differential graded coalgebra \(C_*(L,d)\) の定義。
• Differential graded coaugmented cocommutative coalgebra \((C,d)\) に対し, differential graded Lie algebra \(\mathcal{L}(C,d)\) の定義。
• Differential graded Lie algebra \((L,d)\) と differential graded coaugmented cocommutative coalgebra \((C,d)\) に対し, 以下の自然な quasi-isomorphism がある。
  \begin{eqnarray*} (C,d) & \rarrow{\simeq } & C_*\mathcal{L}(C,d) \\ \mathcal{L}C_*(L,d) & \rarrow{\simeq } & (L,d) \end{eqnarray*}
• Free connected differential graded Lie algebra が minimal であることの定義。
• 任意の connected differential graded Lie algebra は free minimal モデルを持つ。またそれは同型の意味で一意的である。

最近では, Buijs, Félix, Murillo, Tanré [Bui+20] が, simplicial set から complete dg Lie algebra を作り, finite simply connected simplicial complexes の場合 Quillen の model と quasi-isomorphic になることを示している。

References

[Bui+20]

Urtzi Buijs, Yves Félix, Aniceto Murillo, and Daniel Tanré. “Lie models of simplicial sets and representability of the Quillen functor”. In: Israel J. Math. 238.1 (2020), pp. 313–358. arXiv: 1508.01442. url: https://doi.org/10.1007/s11856-020-2026-8.

[Qui69]

Daniel Quillen. “Rational homotopy theory”. In: Ann. of Math. (2) 90 (1969), pp. 205–295. url: https://doi.org/10.2307/1970725.