有理ホモトピー論での Sullivan モデル

Felix, Halperin, Thomas の本 [FHT01] に従うと、以下の順に勉強することになる。

• Simplicial set \(K\) と simplicial cochain complex もしくは simplicial cochain algebra \(A\) に対し cochain complex (algebra) \(A(K)\) の構成。
• Simplicial commutative cochain algebra \(A_{\mathrm{PL}}\) の定義。
• Simplicial commutative cochain algebra \(C_{\mathrm{PL}}\) の定義。
• Simplicial set \(K\) に対し、以下の quasi-isomorphism がある \[ C^*(K) \rarrow{\simeq } (C_{PL}\otimes A_{PL})(K) \larrow{\simeq } A_{PL}(K) \] ここで \(C^*(K)\) は, simplicial set \(K\) の \(\Q \) 係数 chain complex である。

以上により, 通常の cochain complex が de Rham complex の類似で置き換わったわけであるが, \(A_{\mathrm{PL}}(K)\) を更に単純なものに置き換えることができる。

• Sullivan model の定義。
• 任意の commutative cochain algebraはSullivan model を持つ。
• Minimal model の定義。
• \((A,d)\) が \(H^0(A,d)=\Q \) をみたす cochain algebra ならば minimal model を持つ。また minimal model は同型の意味で一意的である。
• Cochain algebra が formal であることの定義。

References

[FHT01]

Yves Félix, Stephen Halperin, and Jean-Claude Thomas. Rational homotopy theory. Vol. 205. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 2001, pp. xxxiv+535. isbn: 0-387-95068-0. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4613-0105-9.