量子群の一般化や変種そして関連した代数

Andruskiewitsch と Schneider [AS04] の結果により, Lie 環の universal enveloping algebra の \(q\)-deformation は, pointed Hopf algebra の特別なものとみなすことができる。よって pointed Hopf algebra は, この意味での量子群の一般化と考えることができる。

• pointed Hopf algebra

群の “many-objectification” として groupoid が有用であることから, quantum group の一般化として, その many-objectification を考えるのは自然である。 実際, 何人かの人が “quantum groupoid” という言葉を使っている。 その定義は人によって様々なようであるが。

• quantum groupoid

Dynamical quantum group というものもある。Quantum group の定義が quantum Yang-Baxter equation の代数的構造から来ているように, dynamical quantum Yang-Baxter equation の代数的構造から定義されたものである。 更に, DoninとMudrov [DM05; DM06] は, monodial category を “dynamization” することにより, dynamical category というものを定義している。

• Yang-Baxter equation
• dynamical quantum group
• dynamical category

解説としては, Etingof の ICM での講演録 [Eti02b; Eti02a] や Karaali の [Kar07] がある。Quantum group や Hopf algebra に関する様々なことの dynamical version が考えられているようである。 Dynamical Weyl group [EV02] とか。

Quantum group から作られる algebra としては, \(q\)-Schur algebra というものがある。Dipper と James の [DJ89] や Beillinson と Lusztig と MacPherson の [BLM90] など。Doty の [Dot03; DG07] も見るとよい。

References

[AS04]

Nicolás Andruskiewitsch and Hans-Jürgen Schneider. “A characterization of quantum groups”. In: J. Reine Angew. Math. 577 (2004), pp. 81–104. arXiv: math/0201095. url: http://dx.doi.org/10.1515/crll.2004.2004.577.81.

[BLM90]

A. A. Beı̆linson, G. Lusztig, and R. MacPherson. “A geometric setting for the quantum deformation of \(\GL _{n}\)”. In: Duke Math. J. 61.2 (1990), pp. 655–677. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-90-06124-1.

[DG07]

S. R. Doty and R. M. Green. “Presenting affine \(q\)-Schur algebras”. In: Math. Z. 256.2 (2007), pp. 311–345. arXiv: math/0603002. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00209-006-0076-1.

[DJ89]

Richard Dipper and Gordon James. “The \(q\)-Schur algebra”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 59.1 (1989), pp. 23–50. url: http://dx.doi.org/10.1112/plms/s3-59.1.23.

[DM05]

J. Donin and A. Mudrov. “Dynamical Yang-Baxter equation and quantum vector bundles”. In: Comm. Math. Phys. 254.3 (2005), pp. 719–760. arXiv: math/0306028. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-004-1247-8.

[DM06]

J. Donin and A. Mudrov. “Quantum groupoids and dynamical categories”. In: J. Algebra 296.2 (2006), pp. 348–384. arXiv: math/0311316. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2006.01.001.

[Dot03]

Stephen Doty. “Presenting generalized \(q\)-Schur algebras”. In: Represent. Theory 7 (2003), 196–213 (electronic). arXiv: math/0305208. url: http://dx.doi.org/10.1090/S1088-4165-03-00176-6.

[Eti02a]

Pavel Etingof. “Errata: “On the dynamical Yang-Baxter equation” [in Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Beijing, 2002), 555–570, Higher Ed. Press, Beijing, 2002; 1957065]”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Beijing, 2002). Beijing: Higher Ed. Press, 2002, pp. 649–650.

[Eti02b]

Pavel Etingof. “On the dynamical Yang-Baxter equation”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Beijing, 2002). Beijing: Higher Ed. Press, 2002, pp. 555–570. arXiv: math/0207008.

[EV02]

P. Etingof and A. Varchenko. “Dynamical Weyl groups and applications”. In: Adv. Math. 167.1 (2002), pp. 74–127. arXiv: math/0011001. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.2001.2034.

[Kar07]

Gizem Karaali. “Dynamical quantum groups—the super story”. In: Hopf algebras and generalizations. Vol. 441. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, pp. 19–52. arXiv: math/0508556. url: https://doi.org/10.1090/conm/441/08498.