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群に対し groupoid があるように, quantum group に対し quantum groupoid という概念を考えるのは自然である。
実際, 既に90年代初頭に, Maltsiniotis [Mal92] や Vainerman [Vai92] が考えている。その後も,
Ping Xu の [Xu01] などで, 定義が改良されている。Szlachányi の [Szl01] の Introduction
を見るとよい。
このように, quantum groupoid の定義がなかなか確立しなかったのは, Hopf algebroid
の定義がはっきりしなかったからである。Quantum group の定義を修正して quantum groupoid を定義するためには,
基本的には Hopf algebra を Hopf algebroid に変えればよいわけであるが, その Hopf algebroid の定義としては,
Ravenel の本 [Rav86] の Appendix に書いてある, 複素cobordism理論のために開発されたものしかなかった。
Quantum groupoid を定義するためには, そのような「可換」なものでは不十分であり, いくつかの拡張が提案されている。 まずは, Lu
の [Lu96] を見るべき だろう。そして Szlachányi の [Szl01] での formulation を見る とよい。そこ書いてあるように,
Doplicher-Roberts の reconstruction theorem の視点から見てみると面白いかもしれない。他には,
Andruskiewitsch と Natale が [AN05; AN06] で double groupoid から quantum groupoid
を作る, ということをやっている。
他の quantum groupoid としては, Etingof と Varchenko [EV98; EV99] による, dynamical
quantum Yang-Baxter 方程式 に起源を持つ dynamical quantum group や, Enock [Eno08] や
Lesieur [Les07] による \(\mathrm {II}_1\) factor の inclusion の研究のために導入された measured quantum groupoid
がある。
- dynamical quantum group
- measured quantum groupoid
Timmermann の [Tim15] は, その代数的なアプローチと operator algebra 的なアプローチを繋ぐ試みである。
Van Daele と Kahng による weak multiplier Hopf algebra を用いたアプローチ [KV18b; Dae;
KV18a; KV19; Kah] もある。
References
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