非可換位相空間のホモトピー論

Noncommutative geometry のアイデアの起源の一つは, Gel\('\)fand-Naimark duality なので, 可換とは限らない \(C^*\)-algebra を compact Hausdorff space の一般化と考えて, そのトポロジーを行なうというのは自然な流れである。実際そのような試みもいくつかある。

古くから考えられているのは, \(K\)-theory を使うことである。 Effros の [Eff81] の Introduction にも書かれているように, \(C^*\)-algebra の \(K\)-theory は, 非可換代数的トポロジーを構成する一分野と考えることができる。

古典的な代数的トポロジーの真似をしようとすると, まず CW複体の非可換版を考えたくなる。そのような試みとしては, [ELP98; Diea; Dieb; Diec; Weg93; Ped99; MR; MMR] といったものがある。

• noncommutative CW complex

Cuntz [Cun02] は, abstract simplicial complex から (非可換な) \(C^*\)-algebra を構成しているが, その可換化が simplicial complex の幾何学的実現上の関数の成す \(C^*\)-algebra になっているようである。 その意味でこの \(C^*\)-algebra は simplicial complex の非可換化と言えるだろう。 これを拡張して simplicial set の非可換版が定義できると, より現代的な非可換ホモトピー論ができると思う。 これについては, Mahanta [Mah] の試みがある。 \(C^*\)-algebra の category と dg category の category そして, simlicial set の category を関連づけることを考えている。

Path や loop などの非可換版も色々考えられているようである。Sadr の [Sad] によると, 単位区間上の複素数値関数の成す \(C^*\)-algebra への \(*\)-homomorphism を非可換空間上の path と考えるのは無理があるらしい。 この Sadr の試みの他に, Karoubi によるもの [Kar71] もあるようである。 Join については Dabrowski, Hadfield, Hajac の [DHH] で導入されている。

• noncommutative join

Fibration や fiber bundle の非可換版も色々考えられている。

• noncommutative fibration

Fibration や fiber bundle と言えば, Serre スペクトル系列であるが, 非可換幾何における Serre スペクトル系列の類似を考えている人 [BB] もいる。

Spanier-Whitehead duality が, ある種の非可換 \(C^*\)-algebra で成り立つことを示しているのは, Kaminker と Putnam と Whittaker の [KPW] である。

Kontsevich は, [Kon09] で Kasparov category を 非可換安定ホモトピー論と考えることを提案しているが, Mahanta の [Mah15] によると, これはちょっと荒っぽいようである。 \(K\)-theory を用いているので, 有限CW複体の 安定ホモトピー圏からできた triangulated category への functor は faithful ではない。 有限CW複体の安定ホモトピー圏を拡張する“noncommutative stable homotopy category” は, Connes と Higson [CH90], そして Dădălart [Dăd94] によって構成されている。

• noncommutative stable homotopy category

その過程で, Mahanta は unstableなnoncommutative pointed space の圏も定義している。また Barnea, Joachim, Mahanta [BJM] は, separable \(C^*\)-algebra の圏の pro-object の圏上に model structure を定義している。Mahanta の定義したのは model category ではなく \((\infty ,1)\)-category であるが, model category を \((\infty ,1)\)-category に直して考えると, Barnea らのものは Mahanta のものの opposite category になっているようである。

• \((\infty ,1)\)-category of noncommutative pointed spaces

Mahanta の [Mah19] によると, これらの試みは Connes 流の \(C^*\)-algebra を用いた noncommutative geometry と Toën や Tabuada らの dg category や stable \(\infty \)-category を用いた非可換代数幾何学を統一することを目標にしているようである。

他にも, 非可換な \(C^*\)-algebra を用いて非可換空間を定義している例は, 色々ある。 Euclid空間の tiling の空間の研究 (Kellendonk の [Kel95], Belliard らの [SB09]), noncommutative solenoid [LP] など。

また, 可換な \(C^*\)-algebra の極大イデアルの成す空間の類似で, quantale というものを作ること ができる。よって quantale を非可換空間と考えて, トポロジーや幾何学を行うことも自然なアイデアのように思える。

• quantale

References

[BB]

EJ Beggs and Tomasz Brzezinski. The Serre spectral sequence of a noncommutative fibration for de Rham cohomology. arXiv: math/ 0508194.

[BJM]

Ilan Barnea, Michael Joachim, and Snigdhayan Mahanta. Model structure on projective systems of \(C^*\)-algebras and bivariant homology theories. arXiv: 1508.04283.

[CH90]

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[Cun02]

J. Cuntz. “Noncommutative simplicial complexes and the Baum-Connes conjecture”. In: Geom. Funct. Anal. 12.2 (2002), pp. 307–329. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00039-002-8248-6.

[Dăd94]

Marius Dădărlat. “A note on asymptotic homomorphisms”. In: \(K\)-Theory 8.5 (1994), pp. 465–482. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00961401.

[DHH]

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[Diea]

Do Ngoc Diep. Category of Noncommutative CW Complexes. arXiv: 0707.0191.

[Dieb]

Do Ngoc Diep. Category of Noncommutative CW Complexes. II. arXiv: math/0211048.

[Diec]

Do Ngoc Diep. Category of Noncommutative CW complexes. III. arXiv: math/0211047.

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[ELP98]

Søren Eilers, Terry A. Loring, and Gert K. Pedersen. “Stability of anticommutation relations: an application of noncommutative CW complexes”. In: J. Reine Angew. Math. 499 (1998), pp. 101–143.

[Kar71]

Max Karoubi. \(K\)-théorie. Séminaire de Mathématiques Supérieures, No. 36 (Été, 1969). Les Presses de L’Université de Montréal, Montreal, Que., 1971, p. 182.

[Kel95]

Johannes Kellendonk. “Noncommutative geometry of tilings and gap labelling”. In: Rev. Math. Phys. 7.7 (1995), pp. 1133–1180. arXiv: cond-mat/9403065. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0129055X95000426.

[Kon09]

Maxim Kontsevich. “Notes on motives in finite characteristic”. In: Algebra, arithmetic, and geometry: in honor of Yu. I. Manin. Vol. II. Vol. 270. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., 2009, pp. 213–247. arXiv: math / 0702206. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4747-6_7.

[KPW]

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[LP]

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[Mah]

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[Mah15]

Snigdhayan Mahanta. “Noncommutative stable homotopy and stable infinity categories”. In: J. Topol. Anal. 7.1 (2015), pp. 135–165. arXiv: 1211.6576. url: http://dx.doi.org/10.1142/S1793525315500077.

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[MMR]

Vida Milani, Seyed M. H. Mansourbeigi, and Ali Asghar Rezaei. Morse Theory for \(C^*\)-Algebras: A Geometric Interpretation of Some Noncommutative Manifolds. arXiv: 0912.2471.

[MR]

Vida Milani and Ali Asghar Rezaei. Some Noncommutative Constructions and Their Associated NCCW Complexes. arXiv: 0907. 1986.

[Ped99]

Gert K. Pedersen. “Pullback and pushout constructions in \(C^*\)-algebra theory”. In: J. Funct. Anal. 167.2 (1999), pp. 243–344. url: http://dx.doi.org/10.1006/jfan.1999.3456.

[Sad]

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[SB09]

Jean Savinien and Jean Bellissard. “A spectral sequence for the \(K\)-theory of tiling spaces”. In: Ergodic Theory Dynam. Systems 29.3 (2009), pp. 997–1031. arXiv: 0705 . 2483. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0143385708000539.

[Weg93]

N. E. Wegge-Olsen. \(K\)-theory and \(C^{*}\)-algebras. Oxford Science Publications. A friendly approach. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1993, pp. xii+370. isbn: 0-19-859694-4.