非可換位相空間のホモトピー論

Noncommutative geometry のアイデアの起源の一つは, Gel\('\)fand-Naimark duality なので, 可換とは限らない \(C^*\)-algebra を compact Hausdorff space の一般化と考えて, そのトポロジーを行なうというのは自然な流れである。実際そのような試みもいくつかある。

古くから考えられているのは, \(K\)-theory を使うことである。 Effros の [Eff81] の Introduction にも書かれているように, \(C^*\)-algebra の \(K\)-theory は, 非可換代数的トポロジーを構成する一分野と考えることができる。

古典的な代数的トポロジーの真似をしようとすると, まず simplicial complex や CW複体の非可換版を考えたくなる。

• noncommutative simplicial and cell complexes

CW複体は, cell を貼り付けてできているので, その構成を真似しようとすると, mapping cone やより一般に pushout が必要になる。Mapping cone については, Wegge-Olsen の [Weg93] にある。Pushout については, Pedersen の [Ped99] がある。 Telescope は, Milani と Rezaei の [MR] で考えられている。

• noncommutative mapping cone and cylinder
• noncommutative pushout
• noncommutative pullback
• noncommutative telescope

Path や loop などの非可換版も色々考えられている。Sadr の [Sad10] によると, 単位区間上の複素数値関数の成す \(C^*\)-algebra への \(*\)-homomorphism を非可換空間上の path と考えるのは無理があるらしい。 この Sadr の試みの他に, Karoubi によるもの [Kar71] もあるようである。 Join については Dabrowski, Hadfield, Hajac の [DHH15] で導入されている。

• noncommutative join

Fibration や fiber bundle の非可換版も色々考えられている。

• noncommutative fibration

Fibration や fiber bundle と言えば, Serre スペクトル系列であるが, 非可換幾何における Serre スペクトル系列の類似を考えている人 [BB05] もいる。

Spanier-Whitehead duality が, ある種の非可換 \(C^*\)-algebra で成り立つことを示しているのは, Kaminker と Putnam と Whittaker の [KPW17] である。

Kontsevich は, [Kon09] で Kasparov category を 非可換安定ホモトピー論と考えることを提案しているが, Mahanta の [Mah15] によると, これはちょっと荒っぽいようである。 \(K\)-theory を用いているので, 有限CW複体の 安定ホモトピー圏からできた triangulated category への functor は faithful ではない。 有限CW複体の安定ホモトピー圏を拡張する“noncommutative stable homotopy category” は, Connes と Higson [CH90], そして Dădălart [Dăd94] によって構成されている。

• noncommutative stable homotopy category

その過程で, Mahanta は unstable な noncommutative pointed space の圏も定義している。また Barnea, Joachim, Mahanta [BJM17] は, separable \(C^*\)-algebra の圏の pro-object の圏上に model structure を定義している。Mahanta の定義したのは model category ではなく \((\infty ,1)\)-category であるが, model category を \((\infty ,1)\)-category に直して考えると, Barnea らのものは Mahanta のものの opposite category になっているようである。

• \((\infty ,1)\)-category of noncommutative pointed spaces

Mahanta の [Mah19] によると, これらの試みは Connes 流の \(C^*\)-algebra を用いた noncommutative geometry と Toën や Tabuada らの dg category や stable \(\infty \)-category を用いた非可換代数幾何学を統一することを目標にしているようである。

他にも, 非可換な \(C^*\)-algebra を用いて非可換空間を定義している例は, 色々ある。 Euclid空間の tiling の空間の研究 (Kellendonk の [Kel95], Belliard らの [SB09]), noncommutative solenoid [LP18] など。

また, 可換な \(C^*\)-algebra の極大イデアルの成す空間の類似で, quantale というものを作ること ができる。よって quantale を非可換空間と考えて, トポロジーや幾何学を行うことも自然なアイデアのように思える。

• quantale

References

[BB05]

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[BJM17]

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[CH90]

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[Dăd94]

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[DHH15]

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[Eff81]

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[Kar71]

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[Kel95]

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[Kon09]

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[KPW17]

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[LP18]

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[Mah15]

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[MR]

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[Ped99]

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[Sad10]

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[SB09]

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[Weg93]

N. E. Wegge-Olsen. \(K\)-theory and \(C^{*}\)-algebras. Oxford Science Publications. A friendly approach. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1993, pp. xii+370. isbn: 0-19-859694-4.