Solenoid

Solenoid とは, \(S^1\) から \(S^1\) への被覆の inverse limit を取ってできる空間である。 Rochester での学生時代に夜行バスで参加した, 1991年の Stony Brook での Milnor の60歳記念の conference で, Novikov の講演に出てきて知った。

Jiang らの [Jia+11] によると, \(2\)-adic solenoid は, 最初に Vietoris により考えられたものらしい。より一般に \(S^1\) から \(S^1\) への 被覆写像の列の inverse limit として定義される。 また solid torus の solid torus への埋め込みの共通部分として表すこともできる。

Kucharczyk と Scholze の [KS18] には, 他に次のような記述があり, すべて solenoid と位相群として同型であることが示されている。

1. \(\Q \) の Pontrjagin dual \(\Hom (\Q ,S^1)\) に compact open topology を入れたもの。ただし, \(\Q \) の位相は離散位相。
2. \(\lim _{n\in \N }\R /\frac{1}{n}\Z \)
3. ádele class group \(\mathbb{A}/\Q \), ただし \(\Q \) は \(\mathbb{A}\) に diagonal に埋め込まれているとする。

より一般の空間の covering の列からも, inverse limit として solenoid の類似が定義される。Jiang らの [Jia+11] や Belk と Forrest の [BF] では, 文献として McCord の [McC65], Schori の [Sch66], Robinson の [Rob99] が挙げてある。

Belk と Forrest によると, Sullivan は [Sul93] で universal hyperbolic solenoid を定義した。これは Milnor の60歳記念の conference の proceedings に収録されているので, 聞いているはずであるが, 全く記憶にない。

Belk と Forrest は Odden [Odd05]に よる universal hyperbolic solenoid の mapping class group に関する結果の別証を与えている。

References

[BF]

James Belk and Bradley Forrest. Covering Systems, Solenoids, and Shape Theory. arXiv: 1009.5716.

[Jia+11]

Boju Jiang, Shicheng Wang, Hao Zheng, and Qing Zhou. “On tame embeddings of solenoids into 3-space”. In: Fund. Math. 214.1 (2011), pp. 57–75. arXiv: math/0611900. url: https://doi.org/10.4064/fm214-1-4.

[KS18]

Robert A. Kucharczyk and Peter Scholze. “Topological realisations of absolute Galois groups”. In: Cohomology of arithmetic groups. Vol. 245. Springer Proc. Math. Stat. Springer, Cham, 2018, pp. 201–288. arXiv: 1609.04717. url: https://doi.org/10.1007/978-3-319-95549-0_8.

[McC65]

M. C. McCord. “Inverse limit sequences with covering maps”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 114 (1965), pp. 197–209. url: https://doi.org/10.2307/1993997.

[Odd05]

Chris Odden. “The baseleaf preserving mapping class group of the universal hyperbolic solenoid”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 357.5 (2005), pp. 1829–1858. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-04-03472-5.

[Rob99]

Clark Robinson. Dynamical systems. Second. Studies in Advanced Mathematics. Stability, symbolic dynamics, and chaos. CRC Press, Boca Raton, FL, 1999, pp. xiv+506. isbn: 0-8493-8495-8.

[Sch66]

Richard M. Schori. “Inverse limits and homogeneity”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 124 (1966), pp. 533–539.

[Sul93]

Dennis Sullivan. “Linking the universalities of Milnor-Thurston, Feigenbaum and Ahlfors-Bers”. In: Topological methods in modern mathematics (Stony Brook, NY, 1991). Houston, TX: Publish or Perish, 1993, pp. 543–564.