モデル圏の例

モデル圏 (モデル構造) の例としては, まず次のものが基本である。

これらの圏の基本的なモデル構造は, Hovey の本 [Hov99] に詳しく書いてある。これらの圏では, 標準的なモデル構造の他にも, 何種類もモデル構造が定義できるが, それらについては, 上のリンク先にまとめた。

もっと単純なモデル圏の例としては, 代数的な対象の圏が挙げられる。Hovey の本では次のものが, 最も単純なものとして挙げてある。

Frobenius category のモデル構造については Nicolas が [Nic08] で述べている。

  • Frobenius category のモデル構造

Abelian category の model structure については, 完全列と compatible であることを要求するのが自然である。 Hovey [Hov02] は, そのようなものを Abelian model category と 呼んでいる。当然 exact category などの, 完全列が指定されている圏に一般化できる。

Lárusson の [Lár] では, (discrete) equivalence relation の圏が, 最も単純なモデル圏の例として挙げてある。もちろん, もうちょっと広くして (discrete) groupoid の圏を考えてもそれ程複雑にはならない。

これらの基本的なモデル構造を用いて, より複雑な圏の model structure を定義することができる。例えば, chain complex の category の model structure から dg algebra の category やある dg algebra 上の module の category の model structure を定義できる。

より一般に, monoidal category での monoid object \(A\) 上の module の category を 考えることもできる。更に, monad 上の algebra や operad 上の algebra などの成す model category を考えることもできる。 もちろん, 元の monoidal category が monoidal model category でないといけないが。

他にも様々な構成法がある。

モデル圏全体にモデル構造を入れることも考えられている。いわゆる “homotopy theory of homotopy theories” と呼ばれるものである。関連した話題としては, ある構造を持つ圏全体の圏のモデル構造がある。これも様々な人が調べている。

以上は, ホモトピー論 (?) に現われるモデル圏の例であるが, ホモトピー論以外でも様々な分野でモデル構造が発見されている。

層の圏 (での simplicial object や chain complex の圏) もモデル構造を持つことが多い。

ある圏が自明でないモデル構造を持つことを示すのは難しい。 Cofibrantly generated なら, small object argument を使って functorial factorization が作れるのであるが, 世の中には cofibrantly generated でないモデル圏もある。 そのような例も知っておいた方がよいだろう。

  • cofibrantly generated ではないモデル圏の例 (Chorny の [Cho03] など)

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