高次の線形代数

高次の 線形代数とは何だろう? すぐ思い付くのは次の二つである。

• \(m\times n\) 行列に関する概念を高次元の行列 (\(n_1\times n_2\times \cdots \times n_k\)行列) に拡張すること
• 線形代数の categorification

前者については, 例えば Gel\('\)fand と Kapranov と Zelevinsky の本 [GKZ94] で扱われている。 Borowiec ら [BDD06] によると, 19世紀に既に Cayley が考えていたようである。 また Gnang の [Gna] では, そのような行列は hypermatrix と呼ばれ [Hog14] の中の Lim の解説が参照されている。

• hypermatrix

自然な用途としては, グラフと行列との関係を, hypergraph に拡張すること [CD12; Gna] がある。

後者については, 数理物理などとの関連 [Fre94] で90年代中頃から色々研究され始めている。 まずは \(2\)-vector space であるが, その定義にはいろいろなものがある。よく参照されるのは, Kapranov と Voevodsky により [KV94] で定義されたものであるが, その論文の中でさえ座標化 (coordinatization) の度合いによって何種類か定義がある。 Baez の \(2\)-Hilbert space [Bae97] は, Doplicher と Roberts の reconstruction theorem を Gel\('\)fand-Naimark duality の categorification と捉えてその一般化を証明している点は評価できるが, Gel\('\)fand-Naimark duality と Doplicher-Roberts recontstruction theorem の両方を包含するものではない。Yetter の measurable category の概念の方が解析的にちゃんとしていていいように思える。

この辺のことについては, Jeffrey Morton の blog にも書いてある。

これまでに目にした \(2\)-vector space のモデルについては, 次にまとめた。

• models for \(2\)-vector spaces

高次の vector space の応用としては, elliptic cohomology の幾何学的定義のために 高次の vector bundle を定義しようという試みや, extended topological quantum field theory [Mor] などがある。

Hopkins の2006年10月24日の Göttingen での講演によると, topological field theory の視点からは, vector space の categorification として modular tensor category を考えるのが良いらしい。

Guiraud と Hoffbeck と Malbos の [GHM19] では, higher rewritting system のために higher vector space を用いることが考えられている。 彼等は, ベクトル空間の圏での internal (strict) \(n\)-category を \(n\)-vector space と呼んでいる。

線形代数の別の高次化としては, Castillo と Diaz の homological matrix というもの [CD07] もある。\(m\times n\) 行列を \(m\) 個の頂点から \(n\) 個の頂点への directed bipartite graph で張られる vector space と同一視し, その頂点の集合 \([m]\) と \([n]\) を多様体 \(M\) と \(N\) に変えたものを考えようというのである。 頂点に対応するのは \(M\) と \(N\) の submanifold である。彼等の homological quantum field theory の研究の過程で生れたもののようである。

References

[Bae97]

John C. Baez. “Higher-dimensional algebra. II. \(2\)-Hilbert spaces”. In: Adv. Math. 127.2 (1997), pp. 125–189. arXiv: q-alg/9609018. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1997.1617.

[BDD06]

Andrzej Borowiec, Wiesław A. Dudek, and Steven Duplij. “Bi-element representations of ternary groups”. In: Comm. Algebra 34.5 (2006), pp. 1651–1670. arXiv: math/0306210. url: https://doi.org/10.1080/00927870500542564.

[CD07]

Edmundo Castillo and Rafael Díaz. “Homological matrices”. In: Geometric and topological methods for quantum field theory. Vol. 434. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, pp. 181–191. arXiv: math/0510443. url: https://doi.org/10.1090/conm/434/08347.

[CD12]

Joshua Cooper and Aaron Dutle. “Spectra of uniform hypergraphs”. In: Linear Algebra Appl. 436.9 (2012), pp. 3268–3292. arXiv: 1106.4856. url: https://doi.org/10.1016/j.laa.2011.11.018.

[Fre94]

Daniel S. Freed. “Higher algebraic structures and quantization”. In: Comm. Math. Phys. 159.2 (1994), pp. 343–398. arXiv: hep-th/9212115. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104254603.

[GHM19]

Yves Guiraud, Eric Hoffbeck, and Philippe Malbos. “Convergent presentations and polygraphic resolutions of associative algebras”. In: Math. Z. 293.1-2 (2019), pp. 113–179. arXiv: 1406.0815. url: https://doi.org/10.1007/s00209-018-2185-z.

[GKZ94]

I. M. Gel\('\)fand, M. M. Kapranov, and A. V. Zelevinsky. Discriminants, resultants, and multidimensional determinants. Mathematics: Theory & Applications. Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., 1994, pp. x+523. isbn: 0-8176-3660-9. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4771-1.

[Gna]

Edinah K. Gnang. A combinatorial approach to the algebra of hypermatrices. arXiv: 1403.3134.

[Hog14]

Leslie Hogben, ed. Handbook of linear algebra. Second. Discrete Mathematics and its Applications (Boca Raton). CRC Press, Boca Raton, FL, 2014, pp. xxx+1874. isbn: 978-1-4665-0728-9.

[KV94]

M. M. Kapranov and V. A. Voevodsky. “\(2\)-categories and Zamolodchikov tetrahedra equations”. In: Algebraic groups and their generalizations: quantum and infinite-dimensional methods (University Park, PA, 1991). Vol. 56. Proc. Sympos. Pure Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1994, pp. 177–259.

[Mor]

Jeffrey Morton. Extended TQFT’s and Quantum Gravity. arXiv: 0710.0032.