高次の線形代数

高次の線形代数とは何だろう? すぐ思い付くのは次の二つである。

  • \(m\times n\) 行列に関する概念を高次元の行列 (\(n_1\times n_2\times \cdots \times n_k\)行列) に拡張すること
  • 線形代数の categorification

前者については, 例えば Gel\('\)fand と Kapranov と Zelevinsky の本 [GKZ94] で扱われている。また Gnang の [Gna] では, そのような行列は hypermatrix と呼ばれ [Hog14] の中の Lim の解説が参照されている。 自然な用途としては, グラフと行列との関係を, hypergraph に拡張すること [CD12; Gna] がある。

後者については, 数理物理などとの関連 [Fre94] で90年代中頃から色々研究され始めている。 まずは \(2\)-vector space であるが, その定義にはいろいろなものがある。よく参照されるのは, Kapranov と Voevodsky により [KV94] で定義されたものであるが, その論文の中でさえ座標化 (coordinatization) の度合いによって何種類か定義がある。 Baez の \(2\)-Hilbert space [Bae97] は, Doplicher と Roberts の reconstruction theoremGel\('\)fand-Naimark dualitycategorification と捉えてその一般化を証明している点は評価できるが, Gel\('\)fand-Naimark duality と Doplicher-Roberts recontstruction theorem の両方を包含するものではない。Yetter の measurable category の概念の方が解析的にちゃんとしていていいように思える。

この辺のことについては, Jeffrey Morton の blog にも書いてある。

  • Kapranov-Voevodsky による\(2\)-vector space の \(2\)-category[KV94]
  • Elguetaによる \(2\)-vector space の category [Elg07a; Elg07b; Elg08]
  • Baez の有限次元 \(2\)-Hibert space [Bae97]
  • Baez-Crans の internal category を使ったもの [BC04]
  • Yetter によるmeasurable category [CY05; Yet05]
  • Heunen の Hilbert category [Heu09]

Baez が [Bae97] の introduction に書いているように, 有限次元ベクトル空間の成す monoidal category 上の “module category” として定義するのも自然なように思う。Baez の定義は enriched category を使ったものであるが。

Kapranov-Veovodsky の \(2\)-vector space については, Morton の [Mor11] に簡潔にまとめられている。

Kapranov-Voevodsky の \(2\)-vector space の欠点については, \(2\)-group の表現の観点から Barrett と Mackaay [BM06] が述べている。

\(2\)-group の表現のためには, measurable category の方がよいようである。 Baez らの [Bae+12] で \(2\)-Lie group の measurable category 上の表現について調べられている。

これら \(2\)-vector space についてまとめられたものとして, Bartlett, Douglas, Schommer-Pries, Vicary の [Bar+] の Appendix A がある

高次の vector space の応用としては, elliptic cohomology の幾何学的定義のために高次の vector bundle を定義しようという試みや, extended topological quantum field theory [Mor] などがある。

Hopkins の2006年10月24日の Göttingen での講演によると, topological field theory の視点からは, vector space の categorification として modular tensor category を考えるのが良いらしい。

Guiraud と Hoffbeck と Malbos の [GHM19] では, higher rewritting system のために higher vector space を用いることが考えられている。 彼等は, ベクトル空間の圏での internal (strict) \(n\)-category を \(n\)-vector space と呼んでいる。

線形代数の別の高次化としては, Castillo と Diaz の homological matrix というもの [CD07] もある。\(m\times n\)行列を\(m\)個の頂点から\(n\)個 の頂点への directed bipartite graph で張られる vector space と同一視し, その頂点の集合 \([m]\) と \([n]\) を多様体 \(M\) と \(N\) に変えたものを考えようというのである。 頂点に対応するのは \(M\) と \(N\) の submanifold である。彼等の homological quantum field theory の研究の過程で生れたもののようである。

References

[Bae+12]

John C. Baez, Aristide Baratin, Laurent Freidel, and Derek K. Wise. “Infinite-dimensional representations of 2-groups”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 219.1032 (2012), pp. vi+120. arXiv: 0812.4969. url: https://doi.org/10.1090/S0065-9266-2012-00652-6.

[Bae97]

John C. Baez. “Higher-dimensional algebra. II. \(2\)-Hilbert spaces”. In: Adv. Math. 127.2 (1997), pp. 125–189. arXiv: q-alg/9609018. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1997.1617.

[Bar+]

Bruce Bartlett, Christopher L. Douglas, Christopher J. Schommer-Pries, and Jamie Vicary. Modular categories as representations of the 3-dimensional bordism 2-category. arXiv: 1509.06811.

[BC04]

John C. Baez and Alissa S. Crans. “Higher-dimensional algebra. VI. Lie \(2\)-algebras”. In: Theory Appl. Categ. 12 (2004), 492–538 (electronic). arXiv: math/0307263.

[BM06]

John W. Barrett and Marco Mackaay. “Categorical representations of categorical groups”. In: Theory Appl. Categ. 16 (2006), No. 20, 529–557. arXiv: math/0407463.

[CD07]

Edmundo Castillo and Rafael Dı́az. “Homological matrices”. In: Geometric and topological methods for quantum field theory. Vol. 434. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, pp. 181–191. arXiv: math/0510443. url: https://doi.org/10.1090/conm/434/08347.

[CD12]

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[CY05]

Louis Crane and David N. Yetter. “Measurable categories and 2-groups”. In: Appl. Categ. Structures 13.5-6 (2005), pp. 501–516. arXiv: math/0305176. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-005-9004-5.

[Elg07a]

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[Elg07b]

Josep Elgueta. “Representation theory of 2-groups on Kapranov and Voevodsky’s 2-vector spaces”. In: Adv. Math. 213.1 (2007), pp. 53–92. arXiv: math/0408120. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.11.010.

[Elg08]

Josep Elgueta. “Generalized 2-vector spaces and general linear 2-groups”. In: J. Pure Appl. Algebra 212.9 (2008), pp. 2069–2091. arXiv: math/0606472. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2007.12.010.

[Fre94]

Daniel S. Freed. “Higher algebraic structures and quantization”. In: Comm. Math. Phys. 159.2 (1994), pp. 343–398. arXiv: hep-th/9212115. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104254603.

[GHM19]

Yves Guiraud, Eric Hoffbeck, and Philippe Malbos. “Convergent presentations and polygraphic resolutions of associative algebras”. In: Math. Z. 293.1-2 (2019), pp. 113–179. arXiv: 1406.0815. url: https://doi.org/10.1007/s00209-018-2185-z.

[GKZ94]

I. M. Gel\('\)fand, M. M. Kapranov, and A. V. Zelevinsky. Discriminants, resultants, and multidimensional determinants. Mathematics: Theory & Applications. Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., 1994, pp. x+523. isbn: 0-8176-3660-9. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4771-1.

[Gna]

Edinah K. Gnang. A combinatorial approach to the algebra of hypermatrices. arXiv: 1403.3134.

[Heu09]

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[Hog14]

Leslie Hogben, ed. Handbook of linear algebra. Second. Discrete Mathematics and its Applications (Boca Raton). CRC Press, Boca Raton, FL, 2014, pp. xxx+1874. isbn: 978-1-4665-0728-9.

[KV94]

M. M. Kapranov and V. A. Voevodsky. “\(2\)-categories and Zamolodchikov tetrahedra equations”. In: Algebraic groups and their generalizations: quantum and infinite-dimensional methods (University Park, PA, 1991). Vol. 56. Proc. Sympos. Pure Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1994, pp. 177–259.

[Mor]

Jeffrey Morton. Extended TQFT’s and Quantum Gravity. arXiv: 0710.0032.

[Mor11]

Jeffrey Colin Morton. “Two-vector spaces and groupoids”. In: Appl. Categ. Structures 19.4 (2011), pp. 659–707. arXiv: 0810.2361. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-010-9225-0.

[Yet05]

D. N. Yetter. “Measurable categories”. In: Appl. Categ. Structures 13.5-6 (2005), pp. 469–500. arXiv: math/0309185. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-005-9003-6.