Models for 2-Vector Spaces

高次の圏を用いた線形代数の一般化の中で, 当然であるが, \(2\)-vector space の理論が最も良く調べられている。 そのモデルには様々なものがあり全体像を把握するのは容易ではないが, 良く知られているモデルについてまとめられたものとして, Bartlett, Douglas, Schommer-Pries, Vicary の [Bar+] の Appendix A があるので, まずはこれを見てみるのが良いと思う。

その中で最も古いものは, Kapranov と Voevodsky のものだろう。

• Kapranov-Voevodsky による \(2\)-vector space の \(2\)-category [KV94]

Kapranov-Veovodsky の \(2\)-vector space については, Morton の [Mor11] に簡潔にまとめられている。

Kapranov-Voevodsky の \(2\)-vector space の欠点については, \(2\)-group の表現の観点から Barrett と Mackaay [BM06] が述べている。

Baez が [Bae97] の introduction に書いているように, 有限次元 vector space の成す monoidal category 上の “module category” として定義するのも自然なように思う。Baez の定義は enriched category を使ったものであるが。

• Baez の有限次元 \(2\)-Hibert space [Bae97]

Baez は, Hilbert space の高次版を定義しようとしているので, 複素共役などに対応する構造を要求しているが, 単に vector space や一般の環上の加群の圏の高次版なら, もっと単純な定義でよい。 実際, Johnson-Freyd と Reutter [JR] は, vector space の圏上の module category を \(2\)-vector space として扱うことを提案している。もっとも, 彼等はより一般に presentably braided monoidal \((\infty ,1)\)-category 上の module category の成す \((\infty ,2)\)-category を \(2\)-vector space の category として使うことを提案している。

更に彼等は, そのような “\(2\)-vector space の category” の monoid object と bimodule の成す \((\infty ,3)\)-category を \(3\)-vector space の category とみなすことも提案している。

Enriched category ではなく internal category を使ったものとしては, Baez-Crans の [BC04] がある。

• Baez-Crans の \(2\)-vector space

もっとも, どのモデルを使うかは目的によるが, \(2\)-group の表現のためには, measurable category の方がよいようである。 Measurable category とは, Yetter [CY05; Yet05] により導入された category of measurable field of Hilbert space を抽象化するものである。 Baez らの [Bae+12] で \(2\)-Lie group の measurable category 上の表現について調べられている。

• measurable category

他に次のようなものがある。

• Elgueta による \(2\)-vector space の category [Elg07a; Elg07b; Elg08]
• Heunen の Hilbert category [Heu09]
• Kristel, Ludewig, Waldorf [KLW25] の implementing bimodule を用いたもの

トポロジーの視点からは, \(2\)-vector space の用途としては, まず \(2\)-vector bundle の定義がある。

• \(2\)-vector bundle

References

[Bae+12]

John C. Baez, Aristide Baratin, Laurent Freidel, and Derek K. Wise. “Infinite-dimensional representations of 2-groups”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 219.1032 (2012), pp. vi+120. arXiv: 0812.4969. url: https://doi.org/10.1090/S0065-9266-2012-00652-6.

[Bae97]

John C. Baez. “Higher-dimensional algebra. II. \(2\)-Hilbert spaces”. In: Adv. Math. 127.2 (1997), pp. 125–189. arXiv: q-alg/9609018. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1997.1617.

[Bar+]

Bruce Bartlett, Christopher L. Douglas, Christopher J. Schommer-Pries, and Jamie Vicary. Modular categories as representations of the 3-dimensional bordism 2-category. arXiv: 1509.06811.

[BC04]

John C. Baez and Alissa S. Crans. “Higher-dimensional algebra. VI. Lie \(2\)-algebras”. In: Theory Appl. Categ. 12 (2004), 492–538 (electronic). arXiv: math/0307263.

[BM06]

John W. Barrett and Marco Mackaay. “Categorical representations of categorical groups”. In: Theory Appl. Categ. 16 (2006), No. 20, 529–557. arXiv: math/0407463.

[CY05]

Louis Crane and David N. Yetter. “Measurable categories and 2-groups”. In: Appl. Categ. Structures 13.5-6 (2005), pp. 501–516. arXiv: math/0305176. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-005-9004-5.

[Elg07a]

Josep Elgueta. “A strict totally coordinatized version of Kapranov and Voevodsky’s 2-category 2Vect”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 142.3 (2007), pp. 407–428. arXiv: math/0406475. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004106009881.

[Elg07b]

Josep Elgueta. “Representation theory of 2-groups on Kapranov and Voevodsky’s 2-vector spaces”. In: Adv. Math. 213.1 (2007), pp. 53–92. arXiv: math/0408120. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.11.010.

[Elg08]

Josep Elgueta. “Generalized 2-vector spaces and general linear 2-groups”. In: J. Pure Appl. Algebra 212.9 (2008), pp. 2069–2091. arXiv: math/0606472. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2007.12.010.

[Heu09]

Chris Heunen. “An embedding theorem for Hilbert categories”. In: Theory Appl. Categ. 22 (2009), No. 13, 321–344. arXiv: 0811.1448.

[JR]

Theo Johnson-Freyd and David Reutter. How to build a Hopf algebra. arXiv: 2508.16787.

[KLW25]

Peter Kristel, Matthias Ludewig, and Konrad Waldorf. “2-vector bundles”. In: High. Struct. 9.1 (2025), pp. 36–87. arXiv: 2106.12198.

[KV94]

M. M. Kapranov and V. A. Voevodsky. “\(2\)-categories and Zamolodchikov tetrahedra equations”. In: Algebraic groups and their generalizations: quantum and infinite-dimensional methods (University Park, PA, 1991). Vol. 56. Proc. Sympos. Pure Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1994, pp. 177–259.

[Mor11]

Jeffrey Colin Morton. “Two-vector spaces and groupoids”. In: Appl. Categ. Structures 19.4 (2011), pp. 659–707. arXiv: 0810.2361. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-010-9225-0.

[Yet05]

D. N. Yetter. “Measurable categories”. In: Appl. Categ. Structures 13.5-6 (2005), pp. 469–500. arXiv: math/0309185. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-005-9003-6.