Models for 2-Vector Spaces

高次の圏を用いた線形代数の一般化の中で, 当然であるが, \(2\)-vector space の理論が最も良く調べられている。 ただ, そのモデルには様々なものがあり, 全体像を把握するのは容易ではない。

まず最も古いものは Kapranov と Voevodsky のものだろう。

• Kapranov-Voevodsky による \(2\)-vector space の \(2\)-category[KV94]

Kapranov-Veovodsky の \(2\)-vector space については, Morton の [Mor11] に簡潔にまとめられている。

Kapranov-Voevodsky の \(2\)-vector space の欠点については, \(2\)-group の表現の観点から Barrett と Mackaay [BM06] が述べている。

Baez が [Bae97] の introduction に書いているように, 有限次元ベクトル空間の成す monoidal category 上の “module category” として定義するのも自然なように思う。Baez の定義は enriched category を使ったものであるが。

• Baez の有限次元 \(2\)-Hibert space [Bae97]

\(2\)-group の表現のためには, measurable category の方がよいようである。 Baez らの [Bae+12] で \(2\)-Lie group の measurable category 上の表現について調べられている。

• Yetter によるmeasurable category [CY05; Yet05]

他に次のようなものがある。

• Elgueta による \(2\)-vector space の category [Elg07a; Elg07b; Elg08]
• Baez-Crans の internal category を使ったもの [BC04]
• Heunen の Hilbert category [Heu09]

これら \(2\)-vector space についてまとめられたものとして, Bartlett, Douglas, Schommer-Pries, Vicary の [Bar+] の Appendix A がある

最近では, Kristel, Ludewig, Waldorf [KLW] によるものがある。

• Kristel, Ludewig, Waldorf [KLW] の implementing bimodule を用いたもの

彼等は implementing module の概念を導入し, superalgebra を object, bimodule を \(1\)-morphism, bimodule の準同型を \(2\)-morphism とする bicategory の中の implementing bimodule を \(1\)-morphism とする subbicategory を \(2\)-vector space の成す bicategory として用いることを提案している。

トポロジーの視点からは, \(2\)-vector space の用途としては, まず \(2\)-vector bundle の定義がある。

• \(2\)-vector bundle

References

[Bae+12]

John C. Baez, Aristide Baratin, Laurent Freidel, and Derek K. Wise. “Infinite-dimensional representations of 2-groups”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 219.1032 (2012), pp. vi+120. arXiv: 0812.4969. url: https://doi.org/10.1090/S0065-9266-2012-00652-6.

[Bae97]

John C. Baez. “Higher-dimensional algebra. II. \(2\)-Hilbert spaces”. In: Adv. Math. 127.2 (1997), pp. 125–189. arXiv: q-alg/9609018. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1997.1617.

[Bar+]

Bruce Bartlett, Christopher L. Douglas, Christopher J. Schommer-Pries, and Jamie Vicary. Modular categories as representations of the 3-dimensional bordism 2-category. arXiv: 1509.06811.

[BC04]

John C. Baez and Alissa S. Crans. “Higher-dimensional algebra. VI. Lie \(2\)-algebras”. In: Theory Appl. Categ. 12 (2004), 492–538 (electronic). arXiv: math/0307263.

[BM06]

John W. Barrett and Marco Mackaay. “Categorical representations of categorical groups”. In: Theory Appl. Categ. 16 (2006), No. 20, 529–557. arXiv: math/0407463.

[CY05]

Louis Crane and David N. Yetter. “Measurable categories and 2-groups”. In: Appl. Categ. Structures 13.5-6 (2005), pp. 501–516. arXiv: math/0305176. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-005-9004-5.

[Elg07a]

Josep Elgueta. “A strict totally coordinatized version of Kapranov and Voevodsky’s 2-category 2Vect”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 142.3 (2007), pp. 407–428. arXiv: math/0406475. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004106009881.

[Elg07b]

Josep Elgueta. “Representation theory of 2-groups on Kapranov and Voevodsky’s 2-vector spaces”. In: Adv. Math. 213.1 (2007), pp. 53–92. arXiv: math/0408120. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.11.010.

[Elg08]

Josep Elgueta. “Generalized 2-vector spaces and general linear 2-groups”. In: J. Pure Appl. Algebra 212.9 (2008), pp. 2069–2091. arXiv: math/0606472. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2007.12.010.

[Heu09]

Chris Heunen. “An embedding theorem for Hilbert categories”. In: Theory Appl. Categ. 22 (2009), No. 13, 321–344. arXiv: 0811.1448.

[KLW]

Peter Kristel, Matthias Ludewig, and Konrad Waldorf. 2-vector bundles. arXiv: 2106.12198.

[KV94]

M. M. Kapranov and V. A. Voevodsky. “\(2\)-categories and Zamolodchikov tetrahedra equations”. In: Algebraic groups and their generalizations: quantum and infinite-dimensional methods (University Park, PA, 1991). Vol. 56. Proc. Sympos. Pure Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1994, pp. 177–259.

[Mor11]

Jeffrey Colin Morton. “Two-vector spaces and groupoids”. In: Appl. Categ. Structures 19.4 (2011), pp. 659–707. arXiv: 0810.2361. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-010-9225-0.

[Yet05]

D. N. Yetter. “Measurable categories”. In: Appl. Categ. Structures 13.5-6 (2005), pp. 469–500. arXiv: math/0309185. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-005-9003-6.