Finite space やそれに類する空間

有限集合上の位相空間を finite space という。

代数的トポロジーで扱う空間は Hausdorff (\(T_2\)) であることが多い。よって, 有限集合には discrete topology が入っているとみなすのが普通である。 有限集合上の位相は \(T_1\) ならば discrete だからである。

ところが有限集合上の位相にも興味深いものがある。例えば, \(n\)次元球面が \(2n+2\)個の点からなる finite space と弱ホモトピー同値であるというのは, ちょっと不思議に思える。

Finite space は最近様々な用途に使われるようになったが, それについては次のページにまとめた。

Finite space のホモトピー型を調べた論文としては, McCord の [McC66] と Stong の [Sto66] が有名である。 短い解説としては, Peter May のホームページにある “Finite Topological Spaces” と “Finite Spaces and Simplicial Complexes” がある。 Peter May は, finite space に関する本 [May] を書いていることを, 琉球大学の佃さんから教えてもらった。また, Barmak の thesis は, Springer Lecture Notes から [Bar11a] として出ている。 これらを眺めれば, finite space の何が面白いかが分かるだろう。

McCord による驚くべき発見は, 有限単体的複体と finite space が弱ホモトピー型でみる限りは, 同じものであるということである。Finite space に対する単体的複体の構成は Alexandroff により [Ale37] で与えられたものであるが。

  • 任意の finite \(T_0\)-space に対し, それと弱ホモトピー同値な有限単体的複体が存在する
  • 任意の有限単体的複体に対し, それと弱ホモトピー同値な finite \(T_0\)-space が存在する

Alexandroff の構成は, 実際には単体的複体というより finite poset を構成しているという点で興味深い。

  • 有限集合 \(X\) 上の \(T_0\)位相と \(X\) の上の partial order は一対一に対応する

有限とは限らない集合については, Alexandroff 位相という, 開集合の任意の共通部分がまた開集合になっている位相を考えるべきである。

球面を表す finite space は, \(S^0\) の non-Hausdorff suspension として得られる。

  • non-Hausdorff cone と non-Hausdorff suspension
  • \(S^0\) (discrete topology) の \(n\)回の non-Hausdorff suspension \(\mathcal {S}^n(S^0)\) は \(n\)次元球面 \(S^n\) と弱ホモトピー同値

\(\mathcal {S}^n(S^0)\) は \(2n+2\)個の点を持つが, これが \(S^n\) の最小の finite space model であることが, Barmak と Minian の [BM07] で示されている。Cianci と Ottina の [COb] によると, これは 最初 May により 2003年に提案された問題だったようである。 彼等は, [BM08b; BM08a] で, 有限複体の simple homotopy や weak homotopy type を finite space で考えることを提案し, 単体的複体での操作に対応する finite space の操作などについて考えている。

Suspension 以外にも mappig cylinder や homotopy colimit などが考えられている。

  • non-Hausdorff mapping cylinder
  • non-Hausdorff homotopy colimit

non-Hausdorff mapping cylinder は Barmak と Minian の [BM08b] で導入された。 Barmak [Bar11b] は, それを用いた poset に対する Quillen の Theorem A の証明を得ている。 Fernández と Minian [FMb] は, その一般化を得ている。

Homotopy colimit と Grothendieck construction については, Fernández と Minian の [FMa] を見るとよい。

Cianci と Ottina の [COb] では, ホモトピー群が全て自明であるが, 可縮ではない finite space の最小モデルが得られている。

Cianci と Ottina [COa] は, Hurewicz cofibration の特徴付けを得ている。

Finite space に対する各種操作を統一して扱うために, finite space の同型類の集合 (の linear span) にある種の代数の構造を入れることを考えているのは, Foissyと Malvenuto と Patras [FMP] である。 各 \(n\in \N \cup \{0\}\) に対し, 濃度 \(n\) の集合上の位相の数は有限であるから, finite space の同相類の集合は可算集合である。この集合上に, sum と join の操作で定義される代数的構造を考えようというのである。 彼等は, その linear span が \(B_{\infty }\)-algebra (homotopy Batalin-Vilovisky algebra) の構造を持つことを示している。 更に, [FMc; FFM17] で, finite space 全体の linear span 上の combinatorial Hopf algebra の構造が定義され調べられている。

Simple homotopy type については, Barmak と Minian 以前に Osaki による結果 [Osa99] がある。Barmak と Minian は [BM12] で strong homotopy という概念を導入し, finite \(T_0\)-space については, strong homotopy が“正しいホモトピー”であることを示している。

Meyer と Nest は, [MN09; MN12] などで finite space 上の \(C^*\)-algebra について調べている。その際に, accordion space という finite space が重要な役割を果しているようである。

  • accordion space

彼等は, より一般に Alexandroff space 上の \(C^*\)-algebra についても調べている。

単体的複体ではなく, finite cell complex に対応するものを調べている人 [Bas10] もいる。

拡張としては, ringed space で, underlying space が finite space になっているものがある。

References

[Ale37]

P. S. Alexandroff. “Diskrete Räume”. In: Matematiceskii Sbornik 2 (1937), pp. 501–518.

[Bar11a]

Jonathan Ariel Barmak. Algebraic Topology of Finite Topological Spaces and Applications. Vol. 2032. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 2011, pp. xvii+170. isbn: 3-642-22003-6.

[Bar11b]

Jonathan Ariel Barmak. “On Quillen’s Theorem A for posets”. In: J. Combin. Theory Ser. A 118.8 (2011), pp. 2445–2453. arXiv: 1005. 0538. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jcta.2011.06.008.

[Bas10]

Tathagata Basak. “Combinatorial cell complexes and Poincaré duality”. In: Geom. Dedicata 147 (2010), pp. 357–387. arXiv: 0807. 4165. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10711-010-9458-y.

[BM07]

Jonathan Ariel Barmak and Elias Gabriel Minian. “Minimal finite models”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 2.1 (2007), pp. 127–140. arXiv: math/0611156.

[BM08a]

Jonathan Ariel Barmak and Elias Gabriel Minian. “One-point reductions of finite spaces, \(h\)-regular CW-complexes and collapsibility”. In: Algebr. Geom. Topol. 8.3 (2008), pp. 1763–1780. arXiv: 0801.0007. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2008.8.1763.

[BM08b]

Jonathan Ariel Barmak and Elias Gabriel Minian. “Simple homotopy types and finite spaces”. In: Adv. Math. 218.1 (2008), pp. 87–104. arXiv: math/0611158. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2007.11.019.

[BM12]

Jonathan Ariel Barmak and Elias Gabriel Minian. “Strong homotopy types, nerves and collapses”. In: Discrete Comput. Geom. 47.2 (2012), pp. 301–328. arXiv: 0907 . 2954. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00454-011-9357-5.

[COa]

Nicolás Cianci and Miguel Ottina. A combinatorial characterization of Hurewicz cofibrations between finite topological spaces. arXiv: 1802.10006.

[COb]

Nicolás Cianci and Miguel Ottina. Smallest homotopically trivial non-contractible spaces. arXiv: 1608.05307.

[FFM17]

Frédéric Fauvet, Loı̈c Foissy, and Dominique Manchon. “The Hopf algebra of finite topologies and mould composition”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 67.3 (2017), pp. 911–945. arXiv: 1503.03820. url: http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2017__67_3_911_0.

[FMa]

Ximena Fernández and Elias Gabriel Minian. Homotopy colimits of diagrams over posets and variations on a theorem of Thomason. arXiv: 1407.5646.

[FMb]

Ximena Fernández and Elias Gabriel Minian. The cylinder of a relation and generalized versions of the Nerve Theorem. arXiv: 1801. 07235.

[FMc]

Loı̈c Foissy and Claudia Malvenuto. The Hopf algebra of finite topologies and T-partitions. arXiv: 1407.0476.

[FMP]

Loı̈c Foissy, Claudia Malvenuto, and Frédéric Patras. Infinitesimal and \(B_{\infty }\)-algebras, finite spaces, and quasi-symmetric functions. arXiv: 1403.7488.

[May]

J.P. May. Finite spaces and larger contexts. url: https://math.uchicago.edu/~may/FINITE/FINITEBOOK/FINITEBOOKCollatedDraft.pdf.

[McC66]

Michael C. McCord. “Singular homology groups and homotopy groups of finite topological spaces”. In: Duke Math. J. 33 (1966), pp. 465–474. url: http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077376525.

[MN09]

Ralf Meyer and Ryszard Nest. “\(C^{*}\)-algebras over topological spaces: the bootstrap class”. In: Münster J. Math. 2 (2009), pp. 215–252. arXiv: 0712.1426.

[MN12]

Ralf Meyer and Ryszard Nest. “\(\mathrm {C}^{*}\)-algebras over topological spaces: filtrated K-theory”. In: Canad. J. Math. 64.2 (2012), pp. 368–408. arXiv: 0810.0096. url: http://dx.doi.org/10.4153/CJM-2011-061-x.

[Osa99]

Takao Osaki. “Reduction of finite topological spaces”. In: Interdiscip. Inform. Sci. 5.2 (1999), pp. 149–155.

[Sto66]

R. E. Stong. “Finite topological spaces”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 123 (1966), pp. 325–340. url: https://doi.org/10.2307/1994660.