Ringed Finite Spaces

Ringed space でその underlying space が finite space であるものを ringed finite space という。 定義は簡単であるが, 調べられるようになったのは Sancho de Salas の [San; San18] から, だと思う。

任意の finite space は canonical に ringed finite space とみなすことができるので, finite space の拡張になっているものであり, Sancho de Salas は finite space のホモトピー論の拡張を考えている。

また affine scheme の category を含んでいるし, scheme の有限開被覆が与えられると, そこから ringed finite space を作ることもできるので, 代数幾何学的に調べることもできる。

Sancho de Salas は [San17] で schematic finite space という finite space の class を定義し, 調べている。

• schematic finite space

Schematic finite space のある full subcategory の localization から quasi-compact quasi-separated scheme の category への fully faithful かつ essentially surjective functor が構成されていて, scheme の model としても使えそうである。

Sánchez González と Tejero Prieto [GP] は, Galois category になっている schematic finite space の finite étale cover の cateogry を定義し, それを用いて schematic finite space の étale fundamental group を定義している。

References

[GP]

J. Sánchez González and C. Tejero Prieto. Étale Covers and Fundamental Groups of Schematic Finite Spaces. arXiv: 2105.01947.

[San]

Fernando Sancho de Salas. Ringed Finite Spaces. arXiv: 1409.4574.

[San17]

Fernando Sancho de Salas. “Finite spaces and schemes”. In: J. Geom. Phys. 122 (2017), pp. 3–27. arXiv: 1602 . 02393. url: https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2017.02.003.

[San18]

Fernando Sancho de Salas. “Homotopy of finite ringed spaces”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 13.3 (2018), pp. 481–501. arXiv: 1511. 06284. url: https://doi.org/10.1007/s40062-017-0190-2.