Deformation Theory

Deformation theory とは何だろうか。 その名前からは, 数学的構造の変形を研究するものは, 何でも deformation theory と呼んでいいような気がする。実際, Kontsevich と Soibelman が執筆中の deformation theory についての本の草稿 [KS] によると, Gel\('\)fand は,「数学のどの分野もある意味では deformation theory である」と言っていたらしい。

Kontsevich と Soibelman の本による定義は, 次のものである。

  • Deformation theory とは, 数学的構造の moduli space の研究である。

もちろん, これではあまりにも大雑把すぎる。具体的な条件としては, Gerstenhaber の [Ger64] の Introduction に, 4つの条件が書いてある。その内の一つは, 上記の moduli space に関する条件であるが, 他に代数的トポロジーと関係の深い条件として, formal deformation やその integrability の obstruction などが, 適当なコホモロジー論で記述できるというものがある。 Gerstenhaber の調べた associative algebra の deformation theory では, Hochschild cohomology がその cohomology theory である。Gerstenhaber は, [Ger63] で調べた associative algebra の Hochschild cohomology の持つ構造が, deformation theory と関係していることを示した。

Gerstenhaber の [Ger64] は, 複素多様体の複素構造の deformation, つまり Kodaira-Spencer の理論を強く意識して書かれている。 複素多様体の deformation については, もちろん Kodaira の本 [Kod86] があるが, Manetti の lecture note [Man04] もある。

Nijenhuis と Richardson の [NR66] には, Gerstenhaber の algebra の deformation theory と Kodaira-Spencer 理論の共通点として graded Lie algebra があることが指摘されている。現在では, differential graded Lie algebra\(L_{\infty }\)-algebra が deformation theory で重要な役割を果している。

Kontsevich と Soibelman の本によると, 代数幾何学的には (Grothendieck流には), deformation problem に対しては, Lie algebra の sheaf を考えるが, その sheaf から differential graded Lie algebra \(\mathfrak{g}\) ができ, そこから, Artinian algebra の圏から groupoid の圏への関手 \[ \mathcal{C}_{\mathfrak{g}} : \category{Artinian} \longrightarrow \category{Groupoid} \] ができる, という仕組みらしい。 この groupoid は, Deligne groupoid と呼ばれている。

この groupoid は, Goldman と Millson の[GM88] に登場したのが最初のようであるが, Deligne の名前がついているのは, differential graded Lie algebra を用いて deformation theoryを考えるという視点を導入したのが, Deligne だからのようである。 Schlessigner と Stasheff の [SS] によると, Goldman と Millson への手紙の中で, deformation theory のどんな問題も differential graded Lie algebra で control されるということを主張したらしい。

DG category の object の deformation theory を考えているのは Efimov と Lunts と Orlov [ELOa; ELOb; ELOc] である。

やはりこれら最近の話題は, Kontsevich のアイデアに因るところが大きいようである。 Kontsevich は, mirror symmetry などに関係して deformation theory を調べていたようである。Mirror symmetry と deformation theory の関係については, Merkulov の [Mer00] の Introduction が分りやすい。

Abelian category の deformation を考えることもできる。Lowen と Van den Bergh の試み [LV06; LV05] がある。彼等の目的の一つは, 非可換代数幾何への応用である。

Lowen は, [Low08] で, その Abelian category の deformation theory が 「algebroid prestack を用いて smooth algebraic variety の deformation quantization を考える」という Kontsevich のアイデアにうまく合うことを主張している。

Lowen によると, algebroid prestack は, gerbe の linear analogue と考えるべきものらしい。Lowen の上記の論文に, algebroid prestack についての詳しい説明がある。

References

[ELOa]

Alexander I. Efimov, Valery A. Lunts, and Dmitri O. Orlov. Deformation theory of objects in homotopy and derived categories I: general theory. arXiv: math/0702838.

[ELOb]

Alexander I. Efimov, Valery A. Lunts, and Dmitri O. Orlov. Deformation theory of objects in homotopy and derived categories II: pro-representability of the deformation functor. arXiv: math/0702839.

[ELOc]

Alexander I. Efimov, Valery A. Lunts, and Dmitri O. Orlov. Deformation theory of objects in homotopy and derived categories III: abelian categories. arXiv: math/0702840.

[Ger63]

Murray Gerstenhaber. “The cohomology structure of an associative ring”. In: Ann. of Math. (2) 78 (1963), pp. 267–288.

[Ger64]

Murray Gerstenhaber. “On the deformation of rings and algebras”. In: Ann. of Math. (2) 79 (1964), pp. 59–103.

[GM88]

William M. Goldman and John J. Millson. “The deformation theory of representations of fundamental groups of compact Kähler manifolds”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 67 (1988), pp. 43–96. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1988__67__43_0.

[Kod86]

Kunihiko Kodaira. Complex manifolds and deformation of complex structures. Vol. 283. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Translated from the Japanese by Kazuo Akao, With an appendix by Daisuke Fujiwara. Springer-Verlag, New York, 1986, pp. x+465. isbn: 0-387-96188-7. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4613-8590-5.

[KS]

Maxim Kontsevich and Yan Soibelman. Deformation Theory. I. url: http://www.math.ksu.edu/~soibel/Book-vol1.ps.

[Low08]

Wendy Lowen. “Algebroid prestacks and deformations of ringed spaces”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 360.3 (2008), 1631–1660 (electronic). arXiv: math/0511197. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-07-04354-1.

[LV05]

Wendy Lowen and Michel Van den Bergh. “Hochschild cohomology of abelian categories and ringed spaces”. In: Adv. Math. 198.1 (2005), pp. 172–221. arXiv: math/0405227. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2004.11.010.

[LV06]

Wendy Lowen and Michel Van den Bergh. “Deformation theory of abelian categories”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 358.12 (2006), 5441–5483 (electronic). arXiv: math/0405226. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-06-03871-2.

[Man04]

Marco Manetti. “Lectures on deformations of complex manifolds (deformations from differential graded viewpoint)”. In: Rend. Mat. Appl. (7) 24.1 (2004), pp. 1–183. arXiv: math/0507286.

[Mer00]

S. A. Merkulov. “Frobenius\(_{\infty }\) invariants of homotopy Gerstenhaber algebras. I”. In: Duke Math. J. 105.3 (2000), pp. 411–461. arXiv: math/0001007. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-00-10533-9.

[NR66]

Albert Nijenhuis and R. W. Richardson Jr. “Cohomology and deformations in graded Lie algebras”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 72 (1966), pp. 1–29.

[SS]

Mike Schlessinger and Jim Stasheff. Deformation theory and rational homotopy type. arXiv: 1211.1647.