Crossed Modules and Related Topics

Crossed module は, J.H.C. Whitehead により[Whi49] で導入された概念である。 Wagemann の本 [Wag21] がある。

トポロジーにおける groupoid の最も基本的な例は, fundamental groupoid であるが, crossed module の基本的な例は, 連結準同型 \(\partial : \pi _2(X,A) \to \pi _1(A)\) である。

• crossed module の定義
• crossed module の分類空間
• \(\pi _2(X,A)\) に関する van Kampenの定理の類似 [BH78]

Crossed module と本質的に同じ構造で, 別の名前で呼ばれているものが色々ある。 Baues と Muro は, [BM08] で類似の概念も含めて secondary group という言葉を使うことを提案している。彼らはこの論文で ホモトピー群の secondary version を定義している。

• crossed module の成す category と double groupoid の成す category は同値 [BS76; BH81]
• crossed module の成す \(2\)-category と strict \(2\)-group の成す \(2\)-category は, \(2\)-equivalent [Por]

Crossed module と \(2\)-group の関係, そしてそれらが連結な空間の homotopy \(2\)-type を表わすことについては, Noohi の [Noo07] にも解説されている．そこでは \(2\)-groupoid についても考察されている。

Crossed module の center は, Norrie [Nor90] により定義されたが, 最近 Pirashvili [Pir] により別の定義が提案された。 Pirashvili はその比較も行なっている。

ホモロジーについては, 分類空間を用いた Baues [Bau91] と Ellis [Ell92] によるものがある。その後, Carrasco と Cegarra と R.-Grandjeá́n [CCR02] により Barr-Beck monadic homology としての別の定義が提案された。 更に最近, Donadze と van der Linden [DV19] により, Baues-Ellis homology を一般化する新しいホモロジーが定義された。

元々の起源はホモトピー論にあったが, 最近では様々な分野で使われているようになっている。例えば, Maier と Schweigert の [MS11] にあるように, 有限群の Drinfel\('\)d double は crossed module とみなすことができる。よって crossed module の表現は, Drinfel\('\)d double の表現を一般化した構造を持つ, はずである。

では, crossed module の表現とは何だろうか? Maier と Schweigert は, Bantay が [Ban10]で述べている crossed module から構成した premodular tensor category のことを, その crossed module の表現と呼んでいる。 それが, 有限群の表現と有限群の Drinfel\('d\) double の表現の共通の一般化になっているからである。

• crossed module の表現

Maier とSchweigert [MS11] は, Bruguières が [Bru00] で発見した premodular tensor category から modular tensor category を構成する方法を crossed module の表現の圏に適用したが, できたものは有限群の Drinfel\('\)d double の表現の圏と同値になってしまい, 新しい modular tensor category の例を構成するためには使えないようである。

Crossed module や関連した概念を高次元化したものについては, R. Brown の解説 [Bro] を見るとよい。Brown の目指しているのは, “nonabelian algebraic topology” の構築であり, それについては, Brown と Higgins と Sivera のそのタイトル の本 [BHS11] がある。

• crossed 2-module
• crossed groupoid
• crossed complex
• \(n\)-cat group あるいは \(\mathrm {cat}^{n}\)-group
• crossed \(n\)-cube
• crossed bimodule
• pair algebra

Crossed \(2\)-module は, Jurco [Jur11] により nonabelian bundle \(2\)-gerbe を定義するのに使われている。そのホモトピー論が, Gohla と Martins [GF13] により 調べられている。

Crossed groupoid は, Yekutieli [Yek13] により, algebraic variety の deformation を調べるのに用いられている。

\(\mathrm {cat}^n\)-group は, Loday [Lod82] により \((n-1)\) 次までのホモトピー群しか持たない空間のモデルとして導入され, van Kampenの定理の一般化 [BL87b] などに応用された。 Loday は \(n\)-cat-group と呼んでいるが, 現在では \(\mathrm {cat}^{n}\)-group と呼ぶのが一般的なようである。 Loday の証明は, その後 [BCD93] により改良されている。

Crossed \(n\)-cube は, \(\mathrm {cat}^n\)-group と関連の深い概念であり, Brown と Loday [BL87a] による \(\mathrm {cat}^n\)-group を用いたホモトピー群の切除定理の証明を一般化するために, Ellis と Steiner [ES87] により導入された。実際, categorical group と crossed module は同等であり, \(\mathrm {cat}^n\)-group と crossed \(n\)-cube は同等な概念である。

• \(\mathrm {cat}^n\)-group の圏と crossed \(n\)-cube の圏が同値であること。 [ES87]

これらは, 低次元トポロジーでも使われるようになった [Mar07] ようである。 Yetter [Yet92; Yet93] や Porter [Por98] らにより topological quantum field theory の構成にも用いられるようになってきた。

Pair algebra は crossed bimodule の graded version であり, Baues により secondary operation を扱うための代数的基礎として用いられている。Baues と Muro [BM11] は, ring spectrum のホモトピー群の secondary homotopy operation (Toda bracket など) を扱うために, secondary algebra を定義した。

高次元化ではない一般化として, Crans と Wagemann [CW14] により定義されている rack の crossed module がある。

• rack の crossed module

References

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