Contramodule

多元環 (algebra) に対しその上の module が定義されるように, coalgebra に対しては, comodule が定義される。 Eilenberg と Moore の [EM64] がこの手の代数的構造のホモロジー代数を systematic に調べた最初の文献だと思うが, そこでは coalgebra に対し contramodule という概念も定義されている。また, それに対し \(\mathrm {Cohom}\) やその derived functor の \(\mathrm {Coext}\) も定義されている。

• \(\mathrm {Cohom}\)
• \(\mathrm {Coext}\)

Contramodule は, Eilenberg と Moore の論文で見てからしばらく目にすることがなかったように思う。Positselski [Pos21] は, MathSciNet で contramodule で検索すると20世紀では3つの論文しか引っ掛からないと言っている。しかも, その中には [EM64] は入っていない。 それは, Review がひどいからであるが。

実際には, 少なくとも Kleiner の [Kle81] などの有限次代数の表現論の文献には登場している。 Roiter [Roj80] により BOCS (Bimodule Over a category with a Coalgebra Structure) の概念が導入されたからである。

• BOCS

最近では, contramodule は Brzezinki ら [Brz08; BBW09; Brz11] によって coring の文脈で調べられているようである。 そして Positselski [Pos10; Pos11; Pos18; Pos] が精力的に調べている。その解説を [Pos21] として書いているので, まずはそれを読むのがよいかもしれない。

Positselski は, dg Koszul duality に関する survey [Pos23] の中で section 8.8 として contramodule の歴史についてまとめている。 主に彼自身が, contramodule の有用性に気付いた過程であるが。

Positselski の [Pos11] には, comodule \(N\) と contramodule \(P\) の contratensor product \(N\odot P\) が定義されている。

• contratensor product

他には, Shapiro [Sha19] が anti-Yetter-Drinfel\('\)d module の文脈で調べている。 Kobyzev と Shapiro [KS18] によると, Hopf-cyclic cohomology の係数としては, anti-Yetter-Drinfel\('\)d module より anti-Yetter-Drinfel\('\)d contramodule の方がずっと自然らしい。

Banerjee と Naokelar [BN] は, \(A_{\infty }\)-monad と \(A_{\infty }\)-comonad の概念を導入し, それを用いて \(A_{\infty }\)-algebra や \(A_{\infty }\)-coalgebra やその上の module や comodule を統一的に扱うことを提案している。 そして, それを用いて, contramodule の \(A_{\infty }\)版も定義している。

• \(A_{\infty }\)-contramodue

References

[BBW09]

Gabriella Böhm, Tomasz Brzeziński, and Robert Wisbauer. “Monads and comonads on module categories”. In: J. Algebra 322.5 (2009), pp. 1719–1747. arXiv: 0804.1460. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2009.06.003.

[BN]

Abhishek Banerjee and Anita Naolekar. On representation categories of \(A_\infty \)-algebras and \(A_\infty \)-coalgebras. arXiv: 2112.02707.

[Brz08]

Tomasz Brzeziński. “Non-commutative connections of the second kind”. In: J. Algebra Appl. 7.5 (2008), pp. 557–573. arXiv: 0802. 0445. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0219498808002977.

[Brz11]

Tomasz Brzeziński. “Hopf-cyclic homology with contramodule coefficients”. In: Quantum groups and noncommutative spaces. Aspects Math., E41. Vieweg + Teubner, Wiesbaden, 2011, pp. 1–8. arXiv: 0806.0389.

[EM64]

Samuel Eilenberg and J. C. Moore. “Homological algebra and fibrations”. In: Colloque de Topologie (Brussels, 1964). Librairie Universitaire, Louvain, 1964, pp. 81–90.

[Kle81]

Mark Kleiner. “Induced modules and comodules and representations of BOCSs and DGCs”. In: Representations of algebras (Puebla, 1980). Vol. 903. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin-New York, 1981, pp. 168–185.

[KS18]

Ivan Kobyzev and Ilya Shapiro. “Anti-Yetter-Drinfeld modules for quasi-Hopf algebras”. In: SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 14 (2018), Paper No. 098, 10. arXiv: 1804.02031. url: https://doi.org/10.3842/SIGMA.2018.098.

[Pos]

Leonid Positselski. Contraherent cosheaves. arXiv: 1209.2995.

[Pos10]

Leonid Positselski. Homological algebra of semimodules and semicontramodules. Vol. 70. Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk. Monografie Matematyczne (New Series) [Mathematics Institute of the Polish Academy of Sciences. Mathematical Monographs (New Series)]. Semi-infinite homological algebra of associative algebraic structures, Appendix C in collaboration with Dmitriy Rumynin; Appendix D in collaboration with Sergey Arkhipov. Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel, 2010, pp. xxiv+349. isbn: 978-3-0346-0435-2. arXiv: 0708. 3398. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-0346-0436-9.

[Pos11]

Leonid Positselski. “Two kinds of derived categories, Koszul duality, and comodule-contramodule correspondence”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 212.996 (2011), pp. vi+133. arXiv: 0905.2621. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0065-9266-2010-00631-8.

[Pos18]

Leonid Positselski. “Weakly curved \({A}_{\infty }\)-algebras over a topological local ring”. In: Mém. Soc. Math. Fr. (N.S.) 159 (2018), pp. vi+206. arXiv: 1202.2697. url: https://doi.org/10.24033/msmf.467.

[Pos21]

Leonid Positselski. “Contramodules”. In: Confluentes Math. 13.2 (2021), pp. 93–182. arXiv: 1503.00991.

[Pos23]

Leonid Positselski. “Differential graded Koszul duality: an introductory survey”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 55.4 (2023), pp. 1551–1640. arXiv: 2207.07063.

[Roj80]

A. V. Rojter. “Matrix problems and representations of BOCSs”. In: Representation theory, I (Proc. Workshop, Carleton Univ., Ottawa, Ont., 1979). Vol. 831. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1980, pp. 288–324.

[Sha19]

Ilya Shapiro. “On the anti-Yetter-Drinfeld module-contramodule correspondence”. In: J. Noncommut. Geom. 13.2 (2019), pp. 473–497. arXiv: 1704.06552. url: https://doi.org/10.4171/JNCG/327.