Twisted Complexes

Wei の [Wei21] によると, twisted complex は Toledo と Tong により[TT78]で導入された。 私は, Bondal と Kapranov が [BK90] で dg category による triangulated category の enhancement に用いているのを見て知った。

Bondal と Kapranov は, Kapranov の論文 [Kap88] を参照しているが, そこでは O’Brian, Toledo, Tong の [OTT81] が参照されている。

Bondal と Kapranov が考えたのは, homology category を取って triangulated category になるような dg category の特徴付けである。彼等は, twisted complex を用いて dg category の category の上の monad を構成し, それによりそのような dg category (pretriangulated dg category) を特徴づけている。

• twisted complex for dg algebra and dg category
• pretriangulated dg category

その \(A_{\infty }\)版もある。Ueda と Yamazaki の [UY13] によると, \(A_{\infty }\)-category に一般化したのは Kontsevich [Kon95] らしい。 簡潔にまとまったものとしては, Seidel の [Sei15] の §2 がある。

• twisted complex for \(A_{\infty }\)-algebra and \(A_{\infty }\)-category

References

[BK90]

A. I. Bondal and M. M. Kapranov. “Framed triangulated categories”. In: Mat. Sb. 181.5 (1990), pp. 669–683.

[Kap88]

M. M. Kapranov. “On the derived categories of coherent sheaves on some homogeneous spaces”. In: Invent. Math. 92.3 (1988), pp. 479–508. url: https://doi.org/10.1007/BF01393744.

[Kon95]

Maxim Kontsevich. “Homological algebra of mirror symmetry”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Zürich, 1994). Basel: Birkhäuser, 1995, pp. 120–139. arXiv: alg-geom/9411018.

[OTT81]

Nigel R. O’Brian, Domingo Toledo, and Yue Lin L. Tong. “The trace map and characteristic classes for coherent sheaves”. In: Amer. J. Math. 103.2 (1981), pp. 225–252. url: https://doi.org/10.2307/2374215.

[Sei15]

Paul Seidel. “Homological mirror symmetry for the quartic surface”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 236.1116 (2015), pp. vi+129. arXiv: math/0310414. url: https://doi.org/10.1090/memo/1116.

[TT78]

Domingo Toledo and Yue Lin L. Tong. “Duality and intersection theory in complex manifolds. I”. In: Math. Ann. 237.1 (1978), pp. 41–77. url: https://doi.org/10.1007/BF01351557.

[UY13]

Kazushi Ueda and Masahito Yamazaki. “Homological mirror symmetry for toric orbifolds of toric del Pezzo surfaces”. In: J. Reine Angew. Math. 680 (2013), pp. 1–22. arXiv: math/0703267. url: https://doi.org/10.1515/crelle.2012.031.

[Wei21]

Zhaoting Wei. “Twisted complexes and simplicial homotopies”. In: Eur. J. Math. 7.3 (2021), pp. 1102–1123. arXiv: 1905.07460. url: https://doi.org/10.1007/s40879-021-00480-x.