組み合せ論

一口に組み合せ論 (combinatorics) と言っても, 非常に幅広い分野である。当 然 combinatorial structure を調べる分野であるが, どういうものが combinatorial structure なのだろうか。一つの指針としては, Rota が [KRS08]の Chapter 6として書いている文章がある。(Rotaが この中で予測したことの評価を Pak がblogに書いている。)

組み合せ論は基本的な構造を研究する分野なので, 昔から代数的トポロジー で基礎として使われてきた事実も含まれている。Rotaの文章でも組み合せ論の typical and most successful applicationとして代数的トポロジーが挙げられ ている。 また 単体的複体のように, かつてトポロジーで 中心的な役割を果したものが, 組み合せ論で有用な道具として「復活」してい たりする。 Borsuk-Ulamの定理など, 古典的なトポロジーの定理の組み合せ論的な類似も考 えられている。[JW10]のIntroductionをみるとよい。

Quiverを始めとして, 表現論で使われることも多い。Fiebigの [Fie08]のIntroductionにも書いてあるように, 表現論的な情 報と幾何学的情報を関連付けるのに, 組み合せ論的な対象を用いるとスッキリ することが多いようである。

References

[Fie08]

Peter Fiebig. “Sheaves on moment graphs and a localization of Verma flags”. In: Adv. Math. 217.2 (2008), pp. 683–712. arXiv: math/0505108. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2007.08.008.

[JW10]

Pallavi Jayawant and Peter Wong. “A combinatorial analog of a theorem of F. J. Dyson”. In: Topology Appl. 157.10-11 (2010), pp. 1833–1838. arXiv: math/0608204. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2010.02.020.

[KRS08]

Mark Kac, Gian-Carlo Rota, and Jacob T. Schwartz. Discrete thoughts. Modern Birkhäuser Classics. Essays on mathematics, science and philosophy, Revised and corrected edition with the assistance of Peter Renz, Reprint of the (1992) second edition [Birkhäuser Boston, Boston, MA; MR1171450]. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2008, pp. xii+266. isbn: 978-0-8176-4774-2. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4775-9.